UNIVERSIDAD DON BOSCO 
FACULTAD DE INGENIERÍA 

ESCUELA DE ELECTRÓNICA 
 

 

 
 
 
 
 
 
 

 PLATAFORMA DE SIMULACIÓN PARA LA REDUCCIÓN DE RUIDO 
EN SEÑALES ELÉCTRICAS HACIENDO USO DE LA TEORÍA DE 

WAVELETS 
 

 

TRABAJO DE  GRADUACIÓN  

 
PRESENTADO POR: 

Francisco José Robles Andrade 

 

PARA OPTAR AL GRADO DE 

Ingeniero en Electrónica 

 
Asesor: 

Ing. Juan Carlos Castro Chávez 

 
 

Septiembre de 2006 

Soyapango – El Salvador – Centro América 
 



UNIVERSIDAD DON BOSCO 
FACULTAD DE INGENIERÍA 

ESCUELA DE ELECTRÓNICA 
 
 
 

AUTORIDADES: 
 
 
 

RECTOR 
ING. FEDERICO HUGUET RIVERA 

 
 
 

VICERRECTOR ACADÉMICO 
PBRO. VÍCTOR BERMÚDEZ, sdb 

 
 
 

SECRETARIO GENERAL 
LIC. MARIO RAFAEL OLMOS 

 
 
 

DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA 
ING. GODOFREDO GIRÓN 

 
 
 

DIRECTOR DE ESCUELA DE ELECTRÓNICA 
ING. OSCAR DURÁN VIZCARRA 

 
 
 

ASESOR DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN 
ING. JUAN CARLOS CASTRO CHÁVEZ 

 
 
 

JURADO EVALUADOR 
ING. OSCAR WENCESLAO RIVAS ZALDAÑA 

ING. EDUARDO RIVERA 
ING. JUAN CARLOS CRUZ DADA 

 
 



UNIVERSIDAD DON BOSCO 
FACULTAD DE INGENIERÍA 

ESCUELA DE ELECTRÓNICA 

JURADO EVALUADOR DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN 

Ing. Oscar Wenceslao Rivas 
JURADO 

 Ing. Eduardo Rivera 
JURADO 

Ing. Juan Carlos Cruz Dada  
JURADO 

 Ing. Juan Carlos Castro Chávez 
ASESOR 

   

 



 

Agradecimientos 

Agradezco en primer lugar a Dios Todopoderoso por todas las bendiciones recibidas. Por 

darme la fuerza y determinación necesarias para dar por finalizado una etapa de gran 

importancia en mi vida. Por colocar grandes y maravillosas personas a mí alrededor de las 

cuales he aprendido muchísimas cosas y de las cuales he recibido un apoyo incondicional.   

 

A la Virgen María Auxiliadora por guiar nuestros caminos como la verdadera Madre que es 

y por confortarnos en los momentos más difíciles de nuestras vidas. Porque siempre nos ha 

acompañado y escuchado nuestras oraciones. 

 

A mi Madre, Dinora Elizabeth Andrade, por ser el ángel que Dios puso en la vida de mi 

hermana y la mía para guiarnos y darnos la fortaleza necesaria para afrontar con coraje y 

amor todo lo que la vida nos tiene preparado. Por enseñarnos, con su ejemplo de vida, a ser 

personas responsables y luchar por lo que queremos. Por que con su amor, ternura, cariño y 

sacrificio, me enseñó cosas que jamás se pueden aprender de otra manera. Por tus noches 

de desvelo y por tu confianza en mí, GRACIAS MAMI. 

 

A mi papá, Pedro José Robles, por creer en mis posibilidades de salir adelante y enseñarme 

a ser independiente. Por su apoyo y respeto a todas las decisiones, actividades y retos que a 

lo largo de mi vida he tomado y adquirido. Por estar a nuestro lado en los momentos 

importantes y trascendentales de nuestras vidas.  

 

A Dinora Guadalupe Robles Andrade (Lupita), mi hermanita. Porque con el correr  del 

tiempo ha sido un ejemplo de valentía y fuerza para mí. Hasta el punto de llegar a 

convertirse en una mujer responsable, independiente, muy inteligente y capaz de salir 

adelante. Por ser mi alegría y orgullo y permitirme disfrutar sus triunfos. Por el amor que 

me prodiga, por su confianza en mi, por respetar y apoyar mis decisiones, por hacerme 

reaccionar cuando cometo un error, por su invaluable compañía y por ser mi hermana, 

gracias. 

 



 

A mi abuelito, Manuel Antonio Guerra (Q.D.D.G), que si bien no esta físicamente con 

nosotros para vernos coronar uno de sus sueños, sé que esta allá arriba en el cielo muy feliz 

y orgulloso. Lo sé porque desde la fecha en que partió a la presencia de Dios, he sentido 

que gane un ángel de la guarda más en mi vida y su espíritu jamás ha dejado de estar con 

nosotros para apoyarnos y darnos el aliento necesario. Gracias por enseñarme lo que es 

tener carácter y afrontar todas las adversidades de frente, por enseñarme la importancia de 

mantener una familia unida y luchar con mucho amor y firmeza porque eso se mantenga de 

esa manera, por cuidarnos y apoyarnos tanto tiempo. En especial esto te lo dedico a ti papá 

Meme, ¡lo logramos! 

 

A mis tíos y tías. Manuel y Yanira, Vilma y Julio, Oscar y Cecilia, Rosario y Mauricio. Por 

ser como verdaderos padres y madres para mi hermana y para mí, en diferentes facetas de 

nuestras vidas, por ser ejemplos de abnegación y entrega, por todo su cariño y amor 

demostrados, por ser mis grandes ejemplos de trabajo duro, por confiar y apoyarme 

siempre. 

 

A mis primos y primas. Stephany, Alejandro, Erick, Walter, Javier, Angélica, Jaqueline, 

Oscar, José, Vilma, Moisés, Oti y Walter Orlando. Por ser mis otros hermanos y por 

hacerme la vida feliz. A los menores, por demostrarme y recordarme que siempre la 

esperanza de un mundo mejor son ustedes y enseñarme a mantenerme siempre alegre. A los 

mayores, por permitirme compartir tiempo con ustedes y por sus consejos, ayuda, amistad, 

confianza y cariño. 

 

A mi abuela, María Lidia Cortez (Q.D.D.G). Por sus consejos y atenciones. Porque con su 

forma de ser me enseñó la fuerza de carácter con la que se deben afrontar las diferentes 

facetas de la vida.  

 

A Claudia Beatriz Molina Morán, mi novia. Por ser la pieza que le da el equilibrio 

necesario a mi vida. Por permitirme encontrarla en el lugar y momento justos. Por 

demostrarme con su amor incondicional, confianza, respeto y apoyo, que es la mujer con 

quien quiero compartir el resto de los días que Dios me regale vida. Por ser además esa 



 

amiga que siempre esta dispuesta a escucharme. A su familia, por abrir las puertas de su 

hogar y acogerme como un miembro más de ella, brindándome mucha confianza, apoyo y 

cariño.   

 

A mi gran amigo de toda la vida, Manuel José Merino. Por ser un hermano mayor para mí, 

por sus consejos, por su apoyo, por su infinita confianza, por su respeto, por su amistad. A 

su familia por abrir las puertas de su hogar y en especial a su hermana Patricia Merino por 

su valioso aporte a la conclusión del presente Trabajo de Graduación. 

 

A mis amigos y excelentes compañeros de estudios: Carlos Rodríguez, Juan Carlos Rivera, 

Francis Rodríguez y Francisco Reyes. Porque con el pasar de los años y la distancia 

siempre mantenemos el contacto, por todos los días y noches de estudios que compartimos 

en el Colegio y la Universidad, por todos los logros que disfrutamos juntos, por todas las 

aventuras que corrimos, por enseñarme e impulsarme a siempre seguir adelante por difíciles 

que fueran las situaciones, por permitirme absorber algunos de sus valiosos conocimientos 

y enseñarme a trabajar en equipo, por respetar mis ideas y enseñarme a escuchar puntos de 

vista distintos, por estar siempre a mi lado. A cada una de sus familias por alojarme en 

muchísimas ocasiones durante nuestras tertulias de estudio, ya sea para preparar un examen 

o trabajar en algún proyecto y por el apoyo y confianza que cada uno de ellos nos 

demostraron al abrirnos las puertas de sus hogares. 

 

Un agradecimiento especial vaya a los profesores e instructores de la Universidad Don 

Bosco, quienes me permitieron aprender muchas cosas durante mis años de estudio, tanto 

del tipo académico como del tipo humano y profesional. Gracias por sus consejos y 

permitirme robarles una pequeña porción de sus conocimientos, los cuales intento e 

intentaré poner siempre en práctica en mi vida profesional. 

 

 

Francisco José Robles Andrade 

 

 



Objetivos Generales y Específicos 

 ii

Objetivos Generales 

• Introducir a los interesados en el procesamiento de señales e imágenes a una 

herramienta matemática de gran utilidad y muy poco conocida como es el caso de la 

Teoría de Wavelets.  

 

• Desarrollar una aplicación que sea capaz de reducir el nivel de ruido eléctrico en 

señales que se encuentre basada en la Teoría de Wavelets. 

 

Objetivos Específicos 

• Respaldar de manera conceptual y matemática la Teoría de Wavelets, presentando 

todos los principios y parámetros que la rigen. 

 

• Demostrar el por qué para ciertos tipos de aplicaciones la Transformada de 

Wavelets presenta un mejor desempeño que la Transformada de Fourier. 

 

• Describir la utilización de la Teoría de Wavelets en el proceso de reducción de ruido 

sobre señales generadas artificialmente a través de software.  

 

• Presentar tres algoritmos que se fundamentan en la Teoría de Wavelets para llevar a 

cabo el proceso de reducción de ruido en señales. 

 

• Desarrollar las rutinas necesarias en MATLAB® que sean capaces de simular el 

comportamiento de los diferentes algoritmos de reducción de ruido basados en 

Wavelets. 

 

• Respaldar a través de gráficos y tablas de datos, el análisis comparativo de los 

diferentes algoritmos de reducción de ruido que se implementarán en MATLAB®. 



Objetivos Generales y Específicos 

 iii

• Describir las bases para el diseño de los diversos algoritmos que son necesarios en 

la implementación computacional de la aplicación en reducción de ruido de la 

Teoría de Wavelets. 

 

• Diseñar y desarrollar una aplicación amigable al usuario que sea capaz de simular el 

comportamiento de los Wavelets en el proceso de reducción de ruido y que se 

encuentre basada en Visual Basic 6.0 como lenguaje de programación. 

 

 

 



Índice de Tablas 

 iv

Índice de Tablas 

3.1 Variantes del decibel y su uso 76

3.2 Delimitación de variables para simulación en MATLAB® 91

3.3 Ejemplo de valores de MSE y Umbral: Minimax, Umbral suave, 
Daubechies 5 

96

3.4 Mejores estimaciones Wavelet-Método aplicando el Umbral Duro 99

3.5 Mejores estimaciones Wavelet-Método aplicando el Umbral Suave 99

  

4.1 Coeficientes escala y wavelet para Familia Daubechies 5 117

4.2 Coeficientes escala y wavelet para Familia Coiflets 3 118

 

 



Índice de Figuras 

 v

Índice de Figuras 

 Figura Pág.
1.1 (a) Señal original; (b) Descomposición en Series de Fourier 15

1.2 Señales senoidales de 5 y 10 Hz 16

1.3 Señal de 50Hz y su Transformada de Fourier 17

1.4 Señal estacionaria y su espectro de frecuencia 21

1.5 Señal no estacionaria y su espectro de frecuencia 22

1.6 Representación gráfica de la STFT 26

1.7 STFT de la señal no estacionaria de la Fig. 1.5 con ventana Gaussiana  
a= 180  

27

1.8 Enrejado resultante de la STFT en el plano tiempo-frecuencia 28

1.9 Representación de señal cuadrada y su Transformada Discreta de Fourier 30

  

2.1 Traza sísmica típica 32

2.2 Discretización de una señal continua  40

2.3 Gráfica de la función escala Haar 43

2.4 Señal de voltaje de línea con sobre impulsos 43

2.5 Aproximación de la señal de voltaje de línea con sobre impulsos, utilizando 
la Wavelet Haar 

44

2.6 Gráfica de un elemento típico en V0 45

2.7  Representación gráfica de φ(x-j) y φ(x-k) 48

2.8 Representación gráfica de la función Wavelet Haar ψ(x) 49

2.9 Interpretación gráfica de la resolución en el tiempo y la frecuencia de la 
WT 

54

2.10 Proceso de escalamiento y traslación de una señal 56

2.11 Procedimiento de cálculo de la CWT 58

2.12 Algoritmo de codificación sub-banda 61

2.13 Representación gráfica Wavelet Haar 64

2.14 Representación gráfica de Wavelet del Sombrero Mejicano 65

2.15 Representación gráfica de Wavelet Daubechies 5 66

2.16 Representación gráfica de Wavelet Symlets 2 67



Índice de Figuras 

 vi

 Figura Pág.
2.17 Representación gráfica de Wavelet Coiflet 1 68

2.18 Representación gráfica de Wavelet Morlet 69

2.19 Representación gráfica de Wavelet Gaussiana de orden 1 70

  

3.1 (a) Sinusoidal pura, (b) Sinusoidal con ruido aditivo 72

3.2 Clasificación del ruido eléctrico 73

3.3 Modelo de Ruido térmico, blanco o Gaussiano 74

3.4 Esquema de proceso de reducción de ruido con wavelets 78

3.5 Comportamiento de métodos no lineales de reducción de ruido. (a) Señal 
original, (b) Umbral duro, (c) Umbral suave 

80

3.6 Señales sintéticas de prueba con n = 4096 muestras 90

3.7 Señales sintéticas de prueba con ruido, n = 4096 y SNR = 3 95

3.8 Señales de prueba recuperadas: Minimax, Umbral suave, Daubechies 5 97

3.9 Representación gráfica de las mejores estimaciones � Umbral duro 100

3.10 Representación gráfica de las mejores estimaciones � Umbral suave 101

  

4.1 Proceso de Descomposición Wavelet. Banco de Filtro de dos canales 105

4.2 Proceso de Reconstrucción Wavelet. Banco de Filtro de dos canales 105

4.3 Banco de filtros de 5 niveles de descomposición 107

4.4 Ventana de bienvenida e informacional de aplicación desarrollada 108

4.5 Interfase de configuración principal 109

4.6 Resultados obtenidos con aplicación diseñada en VB 6.0 para la 
limpieza/reducción de ruido con Wavelets 

119

 

 



Índice General 

 vii

Índice General 

Contenido Página 
Introducción 10

Capítulo 1: Fundamentos del análisis de señales 12

1.1 Introducción 12

1.2 La Transformada de Fourier 

     1.2.1 Propiedades de la Transformada de Fourier 

     1.2.2 Limitaciones de la Transformada de Fourier 

13

18

19

1.3 El Principio de Indeterminación de Heisenberg y el plano  
tiempo-frecuencia 

22

1.4 La Transformada de Fourier de Período Corto 24

1.5 La Transformada Discreta de Fourier 29

Capítulo 2: Teoría de Wavelets 31

2.1 Introducción 31

2.2 Antecedentes Históricos de la teoría de Wavelets 32

2.3 Principios matemáticos que rigen la teoría de Wavelets 

     2.3.1 Espacios con Producto Interno 

     2.3.2 El espacio cuadrado integrable L2 

36

36

39

2.4 La Wavelet haar 

     2.4.1 Función Haar escala 

     2.4.2 Función Haar Wavelet 

43

45

48

2.5 Análisis Multi-resolución 50

2.6 La Transformada Wavelet 

     2.6.1 Variables de escala (a) y traslación (b) 

     2.6.2 Transformada Wavelet Continua 

     2.6.3 Transformada Wavelet Discreta 

 

 

52

54

57

60



Índice General 

 viii

Contenido Página 
2.7 Familias de Wavelets 

     2.7.1 Wavelet Haar 

     2.7.2 Función del Sombrero Mejicano 

     2.7.3 Wavelet Daubechies 

     2.7.4 Wavelet Symlets 

     2.7.5 Wavelet Coiflet 

     2.7.6 Wavelet Morlet 

     2.7.7 Wavelet Gaussiana 

63

63

64

65

66

67

68

69

Capítulo 3: Reducción de ruido en señales utilizando Wavelets 71

3.1 Introducción 71

3.2 Definición de ruido eléctrico 72

3.3 Procedimiento general de reducción de ruido 

     3.3.1 Criterios de umbral 

76

78

3.4 Algoritmos de reducción de ruido basados en la teoría de Wavelets 

     3.4.1 Algoritmo Minimax 

     3.4.2 Algoritmo Fixed form Threshold 

     3.4.3 Algoritmo Rigorous SURE 

80

82

84

85

3.5 Simulación de algoritmos para reducción de ruido 

     3.5.1 Definición de señales de prueba 

     3.5.2 Definición de parámetros de simulaciones 

     3.5.3 Simulación de algoritmos utilizando MATLAB 

     3.5.4 Análisis de resultados y comparación entre algoritmos 

86

86

90

92

97

Capítulo 4: Desarrollo de aplicación d Wavelets basada en Visual Basic 6.0 102

4.1 Introducción 102

4.2 Transformada Rápida Wavelet y banco d filtros 

     4.2.1 Múltiples niveles de descomposición - reconstrucción 

103

106

4.3 Descripción de aplicación desarrollada en Visual Basic 6.0 

     4.3.1 Generación de señales de prueba utilizando Visual Basic 6.0 

     4.3.2 Generación de señal interferente 

     4.3.3 Selección de la Familia Wavelet a utilizar en el análisis 

108

109

111

112



Índice General 

 ix

Contenido Página 
     4.3.4 Algoritmo de reducción de ruido implementado 

     4.3.5 Visualización de Resultados 

118

118

Conclusiones 121

Recomendaciones 124

Apéndice A: Programas implementados en MATLAB® 125

Apéndice B: Resultados completos de simulaciones utilizando MATLAB® 132

Referencias Bibliográficas 157

 

 



Introducción 

 10

Introducción 

A raíz de la acelerada expansión de las tecnologías de información y sistemas de 

comunicación de hoy en día, surge la necesidad de conocer herramientas que nos garanticen 

obtener la información que estos sistemas procesan con la mayor certeza de que dicha 

información sea recibida libre de errores. 

 

Debido a que, sin importar el medio de transmisión a través del cual se propaguen los 

mensajes (señales), estos siempre se ven afectados por perturbaciones eléctricas de 

naturaleza interna y externa. Fenómenos que al final son los responsables de la corrupción 

de los datos que son recibidos. Teniendo esto en mente es importante desarrollar sistemas 

que busquen el disminuir el impacto de dichas perturbaciones. 

 

Es por ello que en el presente estudio se presentará una teoría alternativa y poco conocida 

(si es comparada con el Análisis de Fourier) en el desarrollo de filtros para reducción de 

ruido en señales eléctricas. La teoría a la cual nos referimos es la Teoría de Wavelets, la 

cual como se demostrará en los siguientes capítulos corrige algunas limitantes con las que 

cuenta la Teoría de Fourier. 

 

Así es como en el Capítulo 1 nos introducimos de forma muy general al análisis de señales 

definiendo la tan ampliamente utilizada Teoría de Fourier, en el cual se definen sus 

propiedades, aplicaciones y limitantes. Limitantes que radican primordialmente en la 

incapacidad de la Teoría de Fourier ante las representaciones tiempo-frecuencia debido al 

principio de indeterminación de Heisenberg. Se estudia además la Transformada de Gabor 

o Transformada de Fourier de Período Corto; la cual corrige parcialmente las deficiencias 

de la Transformada de Fourier  clásica. 

 

Luego en el Capítulo 2, se introduce al lector en el mundo de la teoría de Wavelets, desde 

los antecedentes históricos que dieron origen a dicha teoría hasta los fundamentos 

matemáticos que la respaldan son expuestos en este capítulo. El análisis Multi-resolución, 

base sobre la cual se fundamenta el estudio de Wavelets, debido a la capacidad del mismo 



Introducción 

 11

de obtener muy buenas representaciones tiempo-frecuencia y sin contradecir el principio de 

indeterminación de Heisenberg, también se estudia aquí.  

 

Luego, en el Capítulo 3 se lleva a la práctica una de las principales aplicaciones de los 

Wavelets, la reducción de ruido, definiendo algoritmos que se encargan de llevar a cabo 

con muy buenos resultados esta tarea, tal y como se podrá observar en el análisis de 

resultados y en el apéndice B. Se desarrollan además los algoritmos necesarios, haciendo 

uso de MATLAB®, para conseguir la reducción del ruido en las señales de prueba que son 

generadas dentro de la misma aplicación, dichos algoritmos se encuentran plasmados por 

completo en el apéndice A. 

 

Luego de comparar los resultados de desempeño de los diferentes algoritmos de reducción 

de ruido basados en Wavelets, se seleccionó aquel que presentó los mejores resultados, el 

cual es implementado en una aplicación desarrollada en Visual Basic 6.0 en la forma de un 

sistema que simula el comportamiento de la Teoría de Wavelets para la reducción de ruido 

eléctrico en señales. Esto es expuesto en el Capítulo 4. En este mismo capítulo de describe 

la plataforma de simulación y se demuestra su comportamiento. 

 

Finalmente, se presentan las conclusiones, que según el criterio del autor validan la 

importancia de prestar atención a la Teoría de Wavelets y desarrollar una investigación a 

este respecto. Así como también se presentan un par de recomendaciones para trabajo 

futuro y seguir de esta manera encontrando nuevas aplicaciones de esta potente herramienta 

matemática. 

 

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 12

Capítulo I 

Fundamentos del análisis de señales 

1.1 Introducción 

El presente capítulo tiene el objetivo primordial de presentar una visión generalizada de los 

conceptos básicos en el análisis de señales y en particular de aquellos que servirán como 

antecedentes para fundamentar la teoría de Wavelets, la cual es la columna vertebral del 

presente documento. 

 

En un primer momento se define y establece la teoría de la Transformada de Fourier, que 

aun siendo la transformada de más amplio uso en el procesamiento de señales, se 

demostrará que para casos muy puntuales no es la técnica más adecuada, sin que ello reste 

la importancia y potencia de la misma. 

 

Con la finalidad de corregir las desventajas o deficiencias que presenta la Transformada de 

Fourier en el análisis de señales no estacionarias, se desarrolla la Transformada Rápida de 

Fourier (STFT) ó Transformada de Gabor, de la cual también se hará un breve repaso en 

este capítulo, y se demostrará su empleo en las representaciones tiempo-frecuencia de 

señales no estacionarias. La total comprensión de la STFT por parte del lector es de vital 

importancia para la posterior comprensión de la Transformada Wavelet, ya que esta última 

fue desarrollada como una alternativa para resolver algunos problemas que presenta la 

STFT. 

 

 

 

 

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 13

1.2 La Transformada de Fourier  be comfortable why and when wavelet transfo 

Un proceso físico puede ser descrito en el dominio del tiempo mediante valores 

representados por una cantidad como función del tiempo. También es posible describir el 

mismo proceso en el dominio de la frecuencia mediante una serie de amplitudes 

representadas  como función de la frecuencia. La transformada de Fourier como veremos a 

continuación es una herramienta con la capacidad de representar este tipo de procesos, o 

cualquier otro, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Esto 

hace que la Transformada de Fourier sea ampliamente utilizada en aplicaciones en el 

campo de la ciencia e ingeniería. 

 
En esencia, la Transformada de Fourier descompone o expande una señal en senos y 

cosenos de diferentes frecuencias, cuya suma corresponde a la señal original, es decir, es 

capaz de distinguir las diferentes componentes de frecuencia de la señal, y sus respectivas 

amplitudes. Ahora bien, desde el punto de vista matemático, la transformada de Fourier de 

una función del tiempo f(t) queda definida por la ecuación 1.1: 

 
( ) ( ) dtetfF tj∫

∞

∞−

= ωω  
 

(1.1)

 

y la transformada inversa de Fourier definida por la ecuación 1.2: 

 
( ) ( ) ωω ω deFtf tj∫

∞

∞−

−=  
 

(1.2)

 

En la ecuación 1.1 se observa que la señal de interés f(t), es multiplicada por un término 

sinusoidal de frecuencia ω = 2π�. De lo cual se concluye que si la señal tiene una alta 

componente de frecuencia � entonces el producto de la señal y del término sinusoidal es 

relativamente grande, lo cual indica que la señal f(t) presenta una fuerte componente de 

frecuencia �. Sin embargo, si la señal no tiene una componente de frecuencia � dicho 

producto tiende a cero. 

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 14

Además, vale la pena hacer notar que la información proporcionada por la integral 

corresponde a todos los instantes de tiempo, ya que el intervalo de integración esta 

comprendido entre -∞ y  +∞, lo cual implica que no importa el instante de tiempo en el que 

aparece la componente de frecuencia � porque no afectará el resultado de la integración. 

Por lo tanto, la Transformada de Fourier solamente es capaz de entregar información de la 

existencia o no de ciertas componentes de frecuencia. 

 

De acuerdo a lo que se puede observar a partir de la pareja de ecuaciones de la 

transformada de Fourier (ecuaciones 1.1 y 1.2), con ellas se puede obtener una 

representación en el dominio de la frecuencia de una señal que se encuentra originalmente 

en el dominio del tiempo. La relación existente entre la representación de la señal original a 

través de funciones sinusoidales y la exponencial que se expresan en las ecuaciones (1.1) y 

(1.2) proviene de la definición de la identidad de Euler mostrada en la ecuación 1.3.. 

 ( ) ( )
( ) ( )tjSentCose

tjSentCose
tj

tj

ωω
ωω

ω

ω

−=

+=
−

 
(1.3)

 

A partir de esta función exponencial es posible formular un conjunto de funciones 

ortogonales del tipo: 

{ },...2,1,0: ±±=ne tjnω  

Sobre un intervalo {t0, t0+T}, y por lo tanto podemos descomponer o expandir la señal 

original (en el dominio del tiempo) según se detalla en las ecuaciones 1.4 y 1.5. 

 ( ) ...... 2
21

2
210 ++++++= −−

−− tjtjtjtj eFeFeFeFFtf ωωωω  (1.4)
 

 

 
( ) ∑

∞

∞−

−= tjn
neFtf ω  

 
   (1.5)

 

Dichas funciones exponenciales pueden ser referenciadas como las funciones base de la 

Transformada de Fourier, y debido a su propiedad de ortogonalidad, es posible obtener los 

coeficientes Fn como términos de semejanza entre la función original y la función 

exponencial, tal y como se detalla en las ecuaciones 1.6 y 1.7 a continuación: 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 15

 
( )

dtee

dtetf
F Tt

t

tjntjn

Tt

t

tjn

n

∫

∫
+

−

+
−

=
0

0

0

0

ωω

ω

 

 
 
 

(1.6)

 

 
( ) dtetf

T
F

Tt

t

tjn
n ∫

+
−=

0

0

1 ω  
 

(1.7)

 

Aunque matemáticamente la función exponencial resulta más fácil de manipular, 

generalmente se suele trabajar con las funciones seno y coseno, ya que desde un punto de 

vista físico, resulta más fácil comprender el paso de la señal del dominio del tiempo al 

dominio de la frecuencia y en forma inversa. Por lo tanto, es posible realizar una 

transformación de la ecuación (1.5)  a la forma expresada en la ecuación 1.8.  

 ( ) ( ) ( ){ }

[ ]
[ ]nn

nn

nn

Fb
Fa

tnSenbtnCosaatf

Im
Re

2
0

=
=

∴

++= ∑ ωω
 
 
 

(1.8)

 

A partir de la ecuación 1.8 se puede decir que la función en el dominio del tiempo ha sido 

representada como una combinación lineal de todas las componentes de frecuencia 

presentes en la señal f(t), donde los coeficientes an y bn representan la cantidad de energía 

que aporta cada componente de frecuencia a la señal original, tal y como se puede observar 

en la figura 1.1. 

 
Fig. 1.1: (a) Señal original; (b) Descomposición en series de Fourier 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 16

Muchos de los fenómenos físicos pueden describirse mediante una señal en el dominio del 

tiempo, es decir, una de las variables es el tiempo (variable independiente) y la otra la 

amplitud (variable dependiente). Cuando se representa gráficamente dicha señal se obtiene 

una función tiempo-amplitud. Sin embargo, la información que se puede obtener 

directamente de esta representación no siempre es la más apropiada, puesto que la 

información que caracteriza a la señal, en muchos casos, puede observarse más claramente 

en el dominio de la frecuencia, es decir, mediante un espectro que muestre las frecuencias 

existentes en la señal. Por lo tanto, para una mejor representación de la señal se hace 

necesario disponer de su representación en el domino del tiempo y de la frecuencia de 

forma simultánea. 

 

En la figura 1.2 se pueden observar dos señales en el dominio del tiempo. Para determinar 

el espectro de frecuencia de cada una de estas señales, se puede hacer uso de la 

Transformada de Fourier, tal y como se mencionó anteriormente dicha transformada parte 

de una representación en el dominio del tiempo de la señal y obtiene la representación en 

frecuencias de la misma; si se representara esto gráficamente, en un eje se mostraría la 

frecuencia y en el otro la amplitud. Así pues, las señales que se observan en la figura 1.2 

presentan una sola componente de frecuencia, 5 Hz y 10 Hz respectivamente.  

 

Fig. 1.2: Señales senoidales de 5 y 10Hz. 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 17

En la figura 1.3 se muestra una señal sinusoidal con una frecuencia de 50 Hz, a la que se le 

aplica la transformada de Fourier, representada por el espectro de frecuencias de dicha 

figura; en la cual se aprecia perfectamente que a lo largo de todo el espectro de frecuencias 

solamente existe una componente frecuencial de 50 Hz.  

 

 
Fig. 1.3: Señal de 50Hz y su Transformada de Fourier 

Del espectro de frecuencias mostrado en la figura 1.3 es importante hacer notar que es 

simétrico y por lo tanto la segunda mitad del espectro es redundante. Además, también es 

de hacer notar que a través de la Transformada de Fourier se obtiene la frecuencia de la 

señal, pero no indica el instante de tiempo en el que aparece, esta información no es 

necesaria cuando la señal es estacionaria, sin embargo es de crucial importancia al analizar 

señales no estacionarias. Más adelante en la sección 1.2.2 se profundizará en estos dos 

diferentes tipos de señales. 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 18

1.2.1 Propiedades de la Transformada de Fourier [7] 

Con el fin de descubrir lo que ocurre en un dominio cuando en el otro se efectúa una 

operación elemental sobre la función, se han desarrollado una serie de propiedades de la 

transformada de Fourier para facilitar el análisis. Dichas propiedades se presentan en esta 

sección de una manera general. 

• Linealidad (superposición). La transformación de Fourier es una operación lineal 

basada en las propiedades de la integración, por lo que puede aplicarse la 

superposición descrita en la ecuación 1.9. 

 ( ) ( ) ( ) ( )ωω 22112211 FaFatfatfa +⇔+ (1.9)

 

• Escalamiento en el tiempo. La expansión/compresión de una onda en el tiempo, 

afecta su espectro de frecuencias, tal y como lo describe la ecuación 1.10.  

 
( ) 






⇔

a
F

a
atf ω1

 
 

(1.10)

 

• Escalamiento en frecuencia. Esta propiedad es la reciproca a la que se describe en 

la ecuación 1.10. 

 
( )ωbF

b
tf

b
⇔






1

 
 

(1.11)

 

• Desplazamiento en el tiempo (retraso). Si una señal f(t) se retrasa en el tiempo en 

t0, su espectro no se altera, y a cada componente de frecuencia se le agrega una fase 

negativa (-ωt0). 

 ( ) ( ) 0
0

tjeFttf ωω⇔−  
(1.12) 

 

• Desplazamiento en frecuencia (modulación). Al multiplicar una señal por una 

función armónica (seno o coseno) se provoca un desplazamiento del espectro en 

frecuencia, a este proceso se le conoce como modulación. Es de hacer notar que 

durante la modulación una mitad del espectro se mueve a frecuencias más altas y la 

otra a frecuencias menores. 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 19

 ( ) ( )0
0 ωωω −⇔− Fetf tj  (1.13)

 

• Teorema de Convolución. La convolución en el dominio del tiempo corresponde a 

la multiplicación en el dominio de la frecuencia. 

 
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )ωω

ττ

HFthtf

dthtfthtf

⇔∗

−=∗ ∫
∞

∞−

 
 

(1.14)

 

• Teorema de la Correlación. La ecuación 1.15 describe el nivel de semejanza entre 

una señal f(t) con otra señal comparadas con un corrimiento relativo. 

 
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ωω

ττ

∗

∞

∞−

⇔

+= ∫

HFhfCorr

dthtfhfCorr

,

,
 
 

(1.15)

 

• Teorema de Parseval. Este establece que la energía de la señal es siempre la 

misma sin depender si se encuentra en el dominio del tiempo o en el dominio de la 

frecuencia. 

 
( ) ( ) ωω dFdttfE ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

== 22 (1.16)

 

1.2.2 Limitaciones de la Transformada de Fourier 

A pesar de la enorme utilidad y amplio campo de aplicación de la Transformada de Fourier, 

esta presenta ciertas limitaciones, tal y como se menciono brevemente en la introducción de 

este capítulo, específicamente cuando se aplica a señales no estacionarias.  

 

Antes de continuar, diremos que una señal estacionaria es aquella en la cual todas las 

componentes de frecuencia existentes en la señal aparecen a lo largo de toda su duración. 

Mientras que en una señal no estacionaria, la frecuencia cambia constantemente a lo largo 

del tiempo que dura la señal. 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 20

Si por ejemplo se tienen dos señales diferentes, ambas con las mismas componentes 

espectrales, pero con la diferencia de que una de las señales es estacionaria y todas sus 

componentes frecuenciales están presentes en todo instante de tiempo, tal y como ocurre 

con la señal definida por la función matemática que se muestra en la ecuación 1.17; y cuya 

gráfica en el dominio del tiempo y la frecuencia se observan en la figura 1.4. 

 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tCostCostCostCostx 1002502252102 ⋅+⋅+⋅+⋅= ππππ (1.17) 

 

Mientras que por otra parte, tenemos una segunda señal que presenta las mismas cuatro 

componentes frecuenciales (10, 25, 50 y 100 Hz) de la señal estacionaria definida por la 

ecuación 1.17, pero en este caso, cada una de estas cuatro componentes de frecuencia son 

diferentes para cuatro intervalos de tiempo diferentes de la señal, tal y como se ilustra en la 

figura 1.5, a este tipo de señal se le conoce como no estacionaria. 

 

Si se comparan los espectros de frecuencia de las señales mostradas en la figura 1.4 y figura 

1.5, se puede concluir que ambos presentan las cuatro componentes espectrales de 10, 25, 

50 y 100 Hz. Y a parte del nivel de rizado y la diferencia de amplitud (que siempre puede 

ser normalizado) ambos espectros son prácticamente idénticos, aunque las señales en el 

dominio del tiempo son completamente diferentes. Así pues, ambas señales contienen las 

mismas componentes de frecuencia pero la de la figura 1.4 contiene estas frecuencias para 

todo el tiempo y la de la figura 1.5 presenta estas frecuencias para diferentes intervalos de 

tiempo. Este fenómeno se debe a que la Transformada de Fourier solo proporciona el 

contenido espectral de la señal y no la localización temporal de las componentes 

espectrales. Este es el motivo por el cual la Transformada de Fourier no es una técnica 

adecuada para señales no estacionarias cuando se desea obtener una correspondencia 

tiempo-frecuencia. 

 

Con el fin de solventar el inconveniente presentado por la Transformada de Fourier es que 

fue desarrollada la Transformada de Fourier de Periodo Corto (STFT, Short Time Fourier 

Transform), la cual se expondrá su comportamiento más adelante en la sección 1.4 y la que 

a su vez es la que da paso al estudio de la Transformada Wavelet, que se presentará en el 

capítulo 2. 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 21

 

 
Fig. 1.4: Señal estacionaria y su espectro de frecuencia 

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 22

 

 
Fig. 1.5: Señal no estacionaria y su espectro de frecuencia 

 

1.3 El principio de Indeterminación de Heisenberg y el Plano Tiempo-

Frecuencia 
En el ámbito de las ciencias aplicadas usualmente se suele representar una señal física 

mediante una función del tiempo f(t), o alternativamente, en el dominio de la frecuencia por 

su Transformada de Fourier F(ω). Ambas representaciones son en cierto sentido �natural�, 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 23

resultantes de enfocar el universo real. Las mismas contienen exactamente la misma 

información sobre la señal, respondiendo a enfoques distintos y complementarios. 

 

En el campo del procesamiento de señales es común encontrar fenómenos oscilantes 

localizados en el tiempo. Y también lo es, encontrar ondas perdurables, que con amplitudes 

casi estacionarias, exhiben patrones de frecuencia variables en el tiempo [5]. 

 

Surge entonces, la noción de la existencia de fenómenos localizados en tiempo y 

frecuencia, es decir que existen objetos que para su descripción requieren información 

conjunta de ambos dominios. Por supuesto, el par de Transformadas de Fourier no es la 

herramienta idónea para expresar este tipo de información conjunta; por los motivos ya 

explicados anteriormente. 

 

En contraposición, para la representación de dichos fenómenos se requiere de patrones 

elementales capaces de localizar conjuntamente la información de ambos dominios. Lo cual 

plantea el problema de las representaciones tiempo-frecuencia. 

 

En principio, este es un problema antinatural ya que, de acuerdo al Principio de 

Indeterminación de Heisenberg, en su formulación original, expresa que no pueden 

conocerse simultáneamente el momento y la posición de una partícula en movimiento [13]. 

Si ahora lo aplicamos a nuestro estudio, implica que no se puede conocer que componentes 

espectrales existen un determinado instante de tiempo. Y lo más que se puede hacer es 

investigar que componentes espectrales existen en un cierto intervalo de tiempo, lo cual nos 

plantea un problema de resolución. Y se imponen por tanto soluciones de compromiso, ya 

que el principio de indeterminación afirma que no es posible reducir arbitrariamente a la 

vez la resolución en el tiempo (∆t) y la resolución en frecuencia (∆ω) debido a que su 

producto esta acotado inferiormente por la desigualdad de Heisenberg, expresada en la 

ecuación 1.18. 

 

2
1≥∆∆ ωt  

 
(1.18)



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 24

Esta desigualdad implica que se debe sacrificar la resolución en el tiempo por la resolución 

en frecuencia o viceversa. 

 

Tratándose de fenómenos aislados en el tiempo, la cuestión es relativamente sencilla. 

Podemos analizarlos separadamente, y sobre sus respectivos dominios temporales extraer la 

información en frecuencia que nos provee la Transformada de Fourier. Análogamente 

podemos tratar el caso de ondas con patrones de frecuencia relativamente simples, 

moduladas por funciones relativamente largas. 

 

Pero el problema se vuelve arduo cuando nos encontramos frente a señales donde conviven 

múltiples fenómenos localizados en el tiempo y en la frecuencia, superponiéndose bajo 

complejas estructuras.  

 

Claramente, por las razones arriba expuestas, no existe una respuesta única. Entonces, el 

desafío consiste en definir una apropiada representación acorde con las características de la 

señal y a los objetivos de su procesamiento. 

 

1.4 La Transformada de Fourier de Período Corto  

Como ya se discutió, la Transformada de Fourier constituye una herramienta mediante la 

cual podemos obtener información sobre como esta distribuida la energía de una señal a 

través de sus distintas componentes de frecuencia, es decir, podemos conocer todas las 

componentes de frecuencia existentes en la señal y sus respectivos aportes energéticos. Lo 

cual indica que la Transformada de Fourier tiene una perfecta resolución en frecuencia, lo 

que la hace una herramienta matemática de muchísima utilidad para el análisis de señales 

estacionarias. Sin embargo, ella no puede ser aplicada con el objeto de obtener información 

de cuándo o dónde las diferentes componentes de frecuencia se encuentran en las señales 

quasi-estacionarias o no estacionarias, cuyo contenido espectral varía con el tiempo. Es 

decir, la Transformada de Fourier posee una muy pobre resolución en el tiempo. 

 

Con el afán de superar los inconvenientes que presenta la Transformada de Fourier frente a 

señales no estacionarias, en 1946 Denis Gabor realiza una adaptación de la Transformada 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 25

de Fourier de forma tal que pueda obtenerse una representación tiempo-frecuencia [1], y 

que en la actualidad es ampliamente utilizada en el área del procesamiento de señales. 

 

A esta adaptación de la Transformada de Fourier realizada por Gabor se le conoce como 

Transformada de Fourier de Periodo Corto (STFT), la cual consiste básicamente en dividir 

la señal de interés en diferentes partes donde se pueda asumir que la señal es estacionaria.  

 

La forma de dividir la señal se realiza mediante una función ventana h(t) cuyo ancho o 

soporte corresponde a la longitud de cada segmentación de la señal. Así pues, con la 

función ventana encuadramos la señal alrededor de un instante de tiempo τ y calculamos su 

transformada de Fourier, luego trasladamos la función ventana hasta que no se sobrepone 

con la anterior cubriendo una nueva porción de la señal a la que volvemos a calcular su 

transformada de Fourier. Este proceso es repetido hasta que se ha cubierto la totalidad de la 

señal. 

 

Partiendo de lo expresado anteriormente, en forma matemática, la Transformada de Fourier 

de Periodo Corto se expresa como se muestra en la ecuación 1.19: 

 
( ) ( ) ( ) dtethtftSTFT tjωτω −∗

∞

∞−

−= ∫,
 

(1.19)

 

Como lo expresa la ecuación 1.19, la Transformada de Fourier de Periodo Corto no es más 

que la Transformada de Fourier de la señal previamente multiplicada por una función 

ventana. Por lo tanto se obtiene una representación real de la señal en tiempo y frecuencia. 

La Transformada de Fourier de Periodo Corto es bidimensional (en un eje aparece el 

tiempo y en el otro la frecuencia) o tridimensional, si consideramos la amplitud. 

 

Y considerando, como ya se dijo, a h(t) como una función ventana de valores sólo reales, 

no complejos, de tal manera que se cumpla la relación establecida en la ecuación 1.20, 

 ( ) ( )thth *=−  (1.20)

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 26

y si se considera lo expresado por la ecuación 1.20, esta puede reescribirse  de la forma que 

se presenta en la ecuación 1.21, 

 
( ) ( ) ( ) dtethtftSTFT tjωτω −

∞

∞−

−= ∫,
 

(1.21)

 

la cual calcula el producto interno entre la señal y la función ventana trasladada y 

modulada. 

 

En la figura 1.6 se muestra un función ventana de tipo Gaussiana, la primera porción de la 

señal muestra la ventana localizada en t = τ1, la del medio en t = τ2 y la de más a la derecha 

en t = τ3. Estas ventanas comprenden a tres Transformadas de Fourier en tres tiempos 

distintos. Por lo tanto se obtendrá una buena representación tiempo-frecuencia de la señal. 

 
Fig. 1.6: Representación gráfica de la STFT 

 

Una forma de comprender como trabaja la STFT es a partir de un ejemplo, para ello 

consideraremos la forma de onda de la figura 1.5. Al obtener la STFT de dicha señal (la 

cual se muestra en la figura 1.7) se observa que dicha señal se puede representar en tres 

dimensiones (tiempo, frecuencia y amplitud) y se advierte que la gráfica es simétrica con 

respecto al punto medio del eje de frecuencia, puesto que la STFT es la versión en ventanas 

de la Transformada de Fourier Clásica, la cual como se comentó en secciones anteriores, 

siempre es simétrica. 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 27

 
Fig. 1.7: STFT de la señal no estacionaria de la Fig. 1.5, con ventana Gaussiana a=180 

Lo importante de hacer notar en la figura 1.7 es que existen cuatro picos que corresponden 

a las cuatro componentes de frecuencia de la señal ilustrada en la figura 1.5 y que además 

están ubicados en diferentes intervalos de tiempo. Por lo tanto se cuenta con una 

representación tiempo-frecuencia de la señal. 

 

Entonces, podría parecer que el problema de representación tiempo-frecuencia de una señal 

estaría resuelto. Sin embargo, existe un problema que se remonta al principio de 

indeterminación de Heisenberg [1], que en este caso, tal y como se estudió en la sección 

1.3, se traduce en que no es posible conocer la representación exacta tiempo-frecuencia de 

una señal, sino tan solo los intervalos de tiempo en los cuales existen determinadas bandas 

de frecuencia, por lo tanto aparece un problema de resolución. 

 

En la transformada de Fourier no existe problema de resolución en el dominio de la 

frecuencia, pues se sabe exactamente las frecuencias que existen, de manera similar no 

existe problema de resolución en el dominio del tiempo, ya que se conoce el valor de la 

señal para cada instante de tiempo.  

 

Lo que proporciona la perfecta resolución en frecuencia en la transformada de Fourier es el 

hecho de que la ventana empleada es la función exponencial ejωt, la cual existe para todo 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 28

instante de tiempo [-∞,+∞]. En la STFT la ventana es de longitud finita, es decir solo se 

aplica a una parte de la señal, causando una disminución de la resolución en frecuencia, con 

lo cual solo es posible conocer una banda de frecuencias y no un valor exacto de 

frecuencia. 

 

En consecuencia, existe un compromiso entre buena resolución en el tiempo o buena 

resolución en frecuencia. Para obtener la estacionalidad se elige una ventana lo 

suficientemente estrecha en la cual la señal sea estacionaria. Cuanto más estrecha sea la 

ventana se obtendrá mejor resolución en el tiempo y por lo tanto una mejor representación 

de la estacionalidad y peor resolución en frecuencia. Por tanto, el problema consiste en la 

selección de una ventana para el análisis, dependiendo de la aplicación. Si las componentes 

frecuenciales están bien separadas unas de otras en la señal original, se puede sacrificar 

resolución en la frecuencia y tratar de mejorar la resolución en el tiempo. Tal y como se 

ejemplifica en la figura1.8, donde se muestran dos posibilidades, dependiendo de la 

resolución deseada en tiempo y frecuencia. 

 
Fig. 1.8: Enrejado resultante de la STFT en el plano tiempo - frecuencia 

 

En conclusión se puede afirmar que con una ventana estrecha existe buena resolución en el 

tiempo y pobre resolución en el dominio de la frecuencia. Mientras que con una ventana 

ancha se tiene buena resolución en el dominio de la frecuencia y pobre resolución en el 

dominio del tiempo. 

 

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 29

1.5 La Transformada Discreta de Fourier 

 La utilización cada día más creciente de los sistemas computacionales en todos los ámbitos 

de la vida cotidiana, y en particular en el procesamiento digital de señales, ha provocado 

que la versión discreta de la transformada de Fourier sea de mucho interés [7]. Ello se debe 

al hecho de que las computadoras trabajan únicamente con valores discretos o muestras. 

Por lo que el cálculo numérico de la transformada discreta de Fourier también se basa en las 

muestras obtenidas de una señal f(t); los cuales son de la forma fk, con k = 0, 1, 2, �  

 

Y si se mantiene la relación tiempo-frecuencia existente en la transformada de Fourier, se 

intuye entonces que es posible calcular la transformada F(ω) solo para valores discretos de 

ω, con lo que se obtienen valores de la transformada de la forma Fn con n = 0, 1, 2, � 

 

Por lo tanto, sea f(t) una señal periódica de período T y sólo se conocen sus valores en N 

puntos igualmente espaciados en el tiempo. Entonces, si f(kTs) corresponde a la k � ésima 

muestra de f(t) y F(nωs), donde ωs = 2πfs (fs es la frecuencia con la que se realiza el proceso 

de muestreo) corresponde a la n � ésima muestra de F(ω), y además definimos a N como el 

número de muestras de la señal o longitud de la señal, podemos reescribir la Transformada 

de Fourier, de una señal de período T, en su forma discreta como se muestra en la ecuación 

1.22. La cual es conocida como la Transformada Discreta de Fourier. 

 
1....2,1,0,

1

0

2

−==∑
−

=
NknefF

N

k

N
knj

kn

π  
(1.22)

 

Ahora bien, si se parte de los coeficientes Fn  también se pueden obtener los valores de fk  

en forma análoga a lo expresado en la ecuación 1.22, así: 

 
1....2,1,0,1 1

0

2

−== ∑
−

=

−

NkneF
N

f
N

n

N
knj

nk

π

 
 

(1.23)

A la ecuación 1.23 se le conoce como la Inversa de la Transformada Discreta de Fourier. 

Como se puede observar, la TFD y  la TIFD forman un par exacto de transformada [17]. 

 



Capítulo 1. Fundamentos del Análisis de Señales 

 30

En el presente capítulo únicamente se brindó un muy breve repaso a los principales tópicos 

que dieron origen al procesamiento de señales y no se extendió en mucho detalle 

matemático de temas tan importantes como es la Transformada de Fourier, ya que no es el 

principal objetivo de este documento. Para mayor información referente a este tema el 

lector puede consultar literatura del área de comunicaciones o procesamiento digital de 

señales. En los siguientes capítulos nos enfocaremos en la teoría que da origen a la 

aplicación que se desarrollará. 

 

Fig. 1.9: Representación de señal cuadrada y su Transformada Discreta de Fourier 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 31

Capítulo II 

Teoría de Wavelets 

2.1 Introducción 

Tal y como se demostró en el capítulo 1, la transformada de Fourier presenta problemas de 

resolución tiempo-frecuencia y que son explicados perfectamente por el principio de 

indeterminación de Heisenberg, sin embargo, ante estos inconvenientes, es posible analizar 

cualquier señal empleando una técnica alternativa llamada Análisis Multiresolución. El 

análisis multiresolución es el pilar sobre el cual se fundamenta la teoría de Wavelets, teoría 

que es el principal interés del presente capítulo y sobre la cual reside el eje principal del 

presente trabajo de graduación. 

 

El análisis multiresolución, tal y como se verá a lo largo del capítulo, esta diseñado para 

proporcionar una buena resolución temporal y pobre resolución en frecuencia para las altas 

frecuencias y buena resolución en frecuencia y pobre en tiempo para las bajas frecuencias. 

Por lo que el principio de indeterminación de Heisenberg no interfiere o no es contradicho 

en este tipo de análisis. Esta forma de llevar a cabo el análisis de una señal adquiere un 

sentido especial cuando dichas señales tienen componentes de alta frecuencia de corta 

duración y componentes de baja frecuencia de larga duración. 

 

Además, se presenta también una descripción de los aspectos básicos, características, tipos, 

principios matemáticos, etc., que dan soporte a la teoría de Wavelets y la forma de trabajar 

de dicha teoría. Además, se explica como es que la transformada Wavelet resuelve los 

problemas inherentes a la STFT. 

 

 

 

 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 32

2.2 Antecedentes históricos de la teoría de Wavelets  be 

La teoría de Wavelets fue aplicada en un primer momento en el área de la geofísica para 

analizar específicamente datos obtenidos en estudios de sismología. De hecho, los 

geofísicos redescubrieron dicha teoría; ya que los matemáticos la habían desarrollado unos 

veinte años atrás para solucionar problemas abstractos, aunque nunca se imaginaron que 

podría ser aplicada en el campo del procesamiento de señales [2]. 

 

Los estudios sismológicos son construidos a partir de muchas imágenes en dos dimensiones 

de porciones de roca o de suelo, que son unidas para brindar una imagen tridimensional de 

la estructura de la roca debajo de la superficie del suelo. Cada una de las imágenes es 

obtenida colocando geófonos (�micrófonos� sísmicos) a intervalos igualmente espaciados a 

lo largo de una línea, llamada la �línea del sismo�. Luego, utilizando dinamita colocada al 

final de dicha línea provocan una onda sísmica en el suelo. Así pues, cada uno de los 

geófonos colocados a lo largo de la línea graba el movimiento de la tierra debido a la 

explosión provocada por la dinamita, desde el principio hasta el fin de la misma, esta 

grabación es conocida como la traza sísmica y tiene la forma que se observa en la figura 

2.1 [2]. 

 
Fig. 2.1: Traza sísmica típica 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 33

En la figura 2.1 se puede observar que la traza es descrita por una gráfica desplazamiento-

tiempo, en la cual son de vital importancia tanto la oscilación como el momento en que ella 

ocurre. 

 

La primera onda grabada por el geófono es la onda directa, que viaja a lo largo de toda la 

superficie del suelo, y que usualmente no es de mucha importancia. Las subsiguientes 

ondas son reflejadas por las capas de rocas debajo del suelo, estas son las verdaderamente 

importantes. El conocimiento del momento en que la onda golpea el geófono brinda 

información que indica la posición de la capa que reflejo dicha onda. El movimiento del 

suelo que la onda produce, brinda algunos detalles muy específicos de la capa de rocas. Las 

trazas obtenidas a partir de todos los geófonos juntos a lo largo de una línea pueden ser 

combinadas para dar una muy buena �imagen� del suelo directamente por debajo de la línea 

sísmica [2]. 

 

El principal factor que determina la exactitud y precisión de un estudio sismológico es la 

utilización de  una herramienta de análisis apropiada para el estudio de cada una de las 

trazas. Así pues, la Transformada de Fourier no es una buena herramienta de análisis en 

este caso. Ya que solo puede brindarnos información frecuencial (las oscilaciones que 

componen la onda) tal y como se describió en el capítulo 1. Dicha transformada no brinda 

información de cuando la oscilación ocurrió. Por otro lado, la Transformada de Fourier de 

Periodo Corto (STFT), es mejor. En dicha técnica, como ya se ha explicado,  el intervalo de 

tiempo total es dividido en varios pequeños intervalos de tiempo igualmente espaciados, los 

cuales posteriormente son analizados por separado haciendo uso de la Transformada de 

Fourier. El resultado de dicho análisis ahora contiene información en el dominio del tiempo 

y de la frecuencia. Sin embargo, existe un problema con esta aproximación. Los pequeños 

intervalos de tiempo en que se dividió la señal entera no son ajustables, en los intervalos de 

muy corta duración, componentes de muy alta frecuencia ocurren repentinamente las cuales 

son muy difíciles de detectar.  

 

Es aquí donde se desvela la utilidad de la teoría de Wavelets. Los Wavelets son capaces de 

rastrear la información de la onda en el dominio del tiempo y de la frecuencia 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 34

simultáneamente. Esto implica que está teoría puede utilizarse para realizar un 

acercamiento (zoom in) de una onda durante el aparecimiento brusco de las altas 

frecuencias, o bien, realizar una toma lejana (zoom out) de la señal y de esta forma detectar 

oscilaciones de muy baja frecuencia.  

 

Luego de describir brevemente los fenómenos que dieron origen a la teoría de Wavelets, a 

continuación se presenta de manera resumida su desarrollo a lo largo del tiempo y sus 

principales precursores, esto con el fin de ir adentrándonos poco a poco al análisis formal 

de dicha teoría. 

 

Después de que en 1807 Joseph Baptiste Fourier desarrollara toda la teoría del análisis de 

señales que se estudió en el capítulo anterior, los matemáticos gradualmente fueron 

trascendiendo en su conocimiento del análisis en frecuencia al análisis en escala. Es así 

como en 1873 Karl Weierstrass describió una familia de funciones que son formadas por 

una superposición de copias escaladas de una función base dada. Las funciones que él 

definió son fractales, en el sentido de que son continuas en todos sus puntos y 

diferenciables en ninguno. Sin embargo, la teoría de Wavelets como tal, fue mencionada 

por primera vez en uno de los apéndices de la tesis de Alfred Haar en 1909, quien 

desarrolló el primer sistema ortonormal de funciones con soporte compacto, ahora llamada 

base de Haar, y que será tratada con detenimiento más adelante en la sección 2.5. Sin 

embargo, desafortunadamente dicha Wavelet no es continuamente diferenciable, lo cual 

limita seriamente sus aplicaciones. Es importante hacer notar que esta base aún sirve como 

fundamento para la teoría moderna de Wavelets [9].  

 

Ya para los años 30�s, muchos grupos de investigadores trabajaban de manera 

independiente en el estudio de la representación de funciones utilizando las funciones base 

de escala variable [3]. Es importante la comprensión completa de dichas funciones para 

comprender de una mejor manera la teoría de Wavelets. 

 

Haciendo uso de las funciones base de escala variable, llamada función base Haar,  el físico 

Paul Levy en 1930 investigó el movimiento Browniano (señal aleatoria). Y llego a la 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 35

conclusión de que la función base Haar es superior a las funciones base de Fourier en el 

estudio de muy pequeños y complicados detalles en el movimiento Browniano. Por otra 

parte, siempre en los años 30�s en una investigación realizada por Littlewood, Paley y 

Stein, la cual involucraba el cálculo de la energía de una señal f(x), descrita por la ecuación 

2.1, 

 
( ) dxxfEnergía ∫=

π2

0

2

2
1

 
 

(2.1)

 

observaron que dicho cálculo producía diferentes resultados sí la energía se encontraba 

concentrada alrededor de unos pocos puntos o si estaba distribuida sobre un intervalo 

bastante grande. Dichos resultados perturbaron a los científicos de aquella época, debido a 

que esto implicaba claramente un incumplimiento del principio de conservación de la 

energía. Así pues, fue como los investigadores descubrieron una función que puede variar 

en escala y que al calcular la energía no violaba dicho principio [3]. 

 

Luego, otro avance significativo se dio en 1946, cuando Dennis Gabor describió una base 

no-ortonormal de lo que ahora se llaman Wavelets con soporte no acotado, basado en 

funciones gaussianas trasladadas. El término Wavelet proviene del campo de la sismología, 

el cual fue bautizado por Ricker en 1940 para describir el disturbio resultante de un impulso 

sísmico agudo o una carga explosiva. En 1982, Morlet mostró como estos wavelets 

sísmicos podrían ser modelados eficientemente con las funciones matemáticas que Gabor 

había definido casi cuarenta años atrás [3], [9]. 

 

Posteriormente en 1980, Grossman y Morlet un físico y un ingeniero, definieron de forma 

general los Wavelets en el campo de la física cuántica y demostraron como señales 

arbitrarias pueden ser analizadas en términos de escalamientos y traslaciones de una 

función wavelet madre. Yves Meyer y Stephane Mallat ampliaron esta noción a una teoría 

llamada análisis multiresolución. Y en 1985 Mallat demostró como esta teoría se puede 

utilizar en el procesamiento digital de imágenes y en el análisis de señales. A diferencia de 

la Wavelet Haar, las Wavelets de Meyer son continuamente diferenciables en cualquier 

punto, sin embargo, ellas no son de soporte compacto. Un par de años más tarde, Ingrid 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 36

Daubechies se baso en el trabajo de Yves Mallat para definir un conjunto de Wavelets 

basadas en funciones ortonormales que son tal vez las Wavelets más elegantes y la piedra 

angular de las aplicaciones basadas en Wavelets de hoy en día [12]. 

 

2.3 Principios matemáticos que rigen la teoría Wavelets [2] 

En la presente sección se presentará la base matemática que brindará un sólido respaldo a la 

definición de las funciones Wavelets como base de los espacios de funciones lineales de 

cuadrado integrable L2(R). 

 

Sean dos vectores X = (x1, x2, x3), Y = (y1, y2, y3) en un espacio tridimensional (R3) el 

producto interno entre ambos vectores queda definido por la ecuación 2.2 de la siguiente 

forma: 

 
332211, yxyxyxYX ++= (2.2)

 

Esta definición parcialmente tiene su origen en la necesidad de medir la longitud de un 

vector, longitud que tiene su origen en el Teorema de Pitágoras expresado por la ecuación 

2.3. 

 XXxxxXdeLongitud ,2
3

2
2

2
1 =++=  (2.3)

 

Partiendo de este punto, se puede decir que el principal interés de esta sección será definir 

el concepto de un producto interno en un sentido más general que incluya una amplia 

variedad de espacios vectoriales. 

 

2.3.1 Espacios con producto interno 

La definición de un espacio producto interno real de dimensión finita (espacio Euclidiano) 

en tres dimensiones, naturalmente puede ser generalizado a Rn para cualquier dimensión n. 

Así pues, para dos vectores X = (x1, x2, x3,�,xn), Y = (y1, y2, y3,�,yn) en Rn, el producto 

interno Euclidiano esta dado por la ecuación 2.4, que se presenta a continuación: 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 37

 
∑

=
=

n

j
jj yxYX

1
,  

 
(2.4)

 

Al estudiar las Series y la Transformada de Fourier, se hace mucho uso del factor 

exponencial complejo. Así pues, ahora se considerarán tanto los espacios vectoriales 

complejos como los espacios vectoriales reales. De esta manera la definición anterior del 

producto interno para Rn puede ser modificada para vectores en Cn conjugando el segundo 

factor. Hay que recordar que el conjugado de un número complejo jyxz +=  esta 

definido como jyxz −= . Y es importante hacer notar la relación expresada en la ecuación 

2.5. 

 22 yxzz +=  (2.5)

 

Lo cual por definición es│z│2 (el cuadrado de la longitud de jyxz += ) considerando el 

vector que va desde el punto (0,0) hasta el punto (x,y). 

 

Ahora bien, si se tienen dos vectores definidos en Cn, Z = (z1, z2,�, zn) y W = (w1, w2,�, 

wn), entonces el producto interno entre ambos vectores puede ser expresado por la ecuación 

2.6. 

 
∑

=
=

n

j
jj wzWZ

1
,  

 
(2.6)

 

El propósito de la existencia del conjugado presente en la ecuación 2.6 es asegurar que la 

longitud de un vector en Cn sea real y positiva, tal y como lo demuestra la ecuación 2.7. 

 
∑∑

==
===

n

j
j

n

j
jj zzzZZZdeLongitud

1

2

1
,  

 
(2.7)

 

Por definición, un producto interno de un espacio vectorial V es una función que cumple 

con la siguiente relación establecida por la ecuación 2.8, y que se presenta a continuación: 

 CVV →⋅⋅ x:,  (2.8)



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 38

Y que a su vez satisface las propiedades que se presentan a continuación: 

• Bilinealidad: ZYZXZYX ,,, +=+  y ZXYXZYX ,,, +=+ . 

• Positividad: 0, >vv para todo Vv∈ . 

• Simetría conjugada: vwwv ,, =  para todo vector v y w en V. 

• Homogeneidad: wvcwcv ,, =  para todo vector v y w en V y todo escalar 

Cc∈ . 

• Adición: wvwuwvu ,,, +=+  para todo vector Vwvu ∈,, . 

 

Las definiciones anteriores también son de utilidad para definir un producto interno real en 

un espacio vectorial real, excepto que el valor escalar c en la propiedad de homogeneidad 

es real y no tiene conjugado en la definición de la propiedad de simetría. 

 

Es de hacer notar que la tercera y quinta propiedades implican bilinealidad en el segundo 

factor. Mientras que la tercera y cuarta propiedades implican que el factor escalar sale del 

segundo factor como un conjugado, tal  y como puede apreciarse en la ecuación 2.9. 

 wvcvwcvcwcwv ,,,, === (2.9)

 

La condición de positividad implica que podemos asignar cualquier número diferente de 

cero, vvv ,=  como la longitud del vector v. La noción de longitud da idea de la 

distancia entre dos vectores en V definida por la ecuación 2.10 que se presenta a 

continuación: 

 { } wvwv −=, entre Distancia (2.10)

 

Nótese que la propiedad de positividad de los productos internos implica que la única forma 

de que se cumpla 0=− wv  es cuando v = w. Esta noción de distancia también da la idea 

de una secuencia convergente {vk; k = 1, 2, �}; por lo que se establece que: 

0s →−→ vvivv kk  



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 39

Es decir, que vvk →  si la distancia entre kv  y v  es pequeña comparándola con el valor 

de k . 

 

2.3.2 El espacio cuadrado integrable L2 

En la presente sección, se discutirán una clase particular de espacios vectoriales 

dimensionalmente infinitos que son particularmente útiles en el campo del análisis de 

señales. Así pues, una señal de audio puede ser vista como una función f(t), que representa 

la intensidad de la señal en el tiempo. Aquí t varía en un intervalo a ≤ t ≤ b que representa 

la duración en el tiempo de la señal. Aquí, a podría ser -∞ ó b ser +∞. 

 

Debido a la necesidad de imponer una restricción del crecimiento de una función definida 

en el intervalo a ≤ t ≤ b, por definición se puede establecer que: Para un intervalo a ≤ t ≤ b, 

el espacio L2([a ,b]) es el conjunto de todas las funciones cuadrado integrables definidas 

en a ≤ t ≤ b. Tal y como se define en la ecuación 2.11, 

 
[ ]( ) [ ] ( )









∞<→= ∫
b

a

dttfCbafbaL 22 ;,:,  
 

(2.11)

 

las funciones discontinuas también son incluidas como miembros de este espacio cuadrado 

integrable. Así pues, en este contexto la integral anterior puede ser interpretada en el 

sentido de una suma de Riemann. La definición de L2 incluye funciones cuyo conjunto de 

discontinuidades es levemente grande, en cuyo caso debe ser utilizada la integral de 

Lebesgue. La condición ( )∫ ∞<
b

a

dttf 2  físicamente implica que el total de la energía de la 

señal es finita (la cual es una clase de señal real). 

 

El espacio L2([a ,b]) es dimensionalmente infinito. Por ejemplo, si a = 0 y b = 1, entonces 

el conjunto de funciones {1, t, t2, t3�} es linealmente independiente y pertenece a L2([0,1]). 

La función f(t) = 1/t es un ejemplo de una función que no pertenece a L2([0,1]) ya que 

( )∫ ∞=
1

0

2/1 dtt . 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 40

Ahora se construirá un apropiado producto interno de L2[a ,b]. Para motivar el producto 

interno L2, se discretizará el intervalo [a, b]. Con el fin de simplificar el análisis, haremos 

que a = 0 y b = 1.  

 

Sea N un entero positivo mucho mayor que cero y sea tj = j/N para 1 ≤ j ≤ N. Si � es 

continua, entonces los valores de � en el intervalo [tj, tj+1] pueden ser aproximados por �(tj). 

Por lo tanto, � puede ser aproximada por el siguiente vector de la ecuación 2.12. Tal y 

como se ilustra en la figura. 2.2. 

 ( ) ( ) ( )( ) N
NN Rtftftff ∈= ,...,, 21

(2.12)

 

Ya que el valor de N es muy grande, �N es una muy buena aproximación de �. 

 
Fig. 2.2: Discretización de una señal continua 

Ahora bien, si f y g son dos señales en L2[0,1], entonces ambas señales pueden ser 

discretizadas por fN y gN. Una posible definición de 2, Lgf  es examinar el producto 

interno ordinario RN de fN y gN que se detalla en la ecuación 2.13. 

 
∑∑

==
==

N

j

N

j
jjRNN NjgNjftgtfgf N

11
)/()/()()(,  

 
(2.13)

 

El problema con la aproximación expresada en la ecuación 2.13 radica en que el valor de N 

es muy grande, por lo que la suma del lado derecho es muy grande. Una mejor opción es 

considerar el promedio del producto interno expresado en la ecuación 2.14, así: 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 41

 

N
NjgNjfgf

N

N

j
RNN N

1)/()/(,1
1
∑

=
=

(2.14)

 

Ya que fN y gN  se aproximan a f y g cuando el valor de N es grande, una definición 

razonable de 2, Lgf  es tomar el límite del promedio del producto interno cuando N → ∞. 

 

Así pues, la ecuación anterior puede ser escrita como se muestra en la ecuación 2.15. 

 
N

ttNjgNjfgf
N

N

j
RNN N

1 donde)/()/(,1
1

=∆∆=∑
=

 
 

(2.15)

 

La suma del término de la derecha es una aproximación de la suma de Riemann a  

∫
1

0

)()( dttgtf  sobre la partición [0, t1, t2,�,tN = 1] de [0,1]. Esta aproximación es mucho 

más exacta cuanto mayor es N. De aquí se deduce entonces que una acertada definición 

para el producto interno de L2 en L2([a ,b]) esta dada por la ecuación 2.16 dada a 

continuación: 

 
]),([, para)()(, 2

2 baLgfdttgtfgf
b

a
L

∈= ∫
 

(2.16)

 

Las propiedades de simetría conjugada, homogeneidad y bilinealidad son cumplidas 

completamente por este producto interno. 

Mientras que para la condición de positividad, si ∫==
b

a

dttfff 2)(,0  y si f es 

continua, entonces f(t) = 0 para todo t. Si ahora a f(t) se le permite que sea discontinua en 

un número finito de puntos, entonces se puede concluir que f(t) = 0 en todo valor, excepto 

en un número finito de valores de t. Por ejemplo la función: 

( )




≠
=

=
0si0

0  si1
t

t
tf  



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 42

en esta función diferente de cero, aun se cumple que  ∫
−

=
1

1

2 0)( dttf . No obstante, 

anteriormente se estipuló que dos elementos f y g en L2([a, b]) son iguales si f(t) = g(t) para 

todo valor de t excepto para un número finito de valores t. Esta es una definición muy 

razonable para el propósito de la integración ya que ∫∫ =
b

a

b

a

dttgdttf )()(  para dichas 

funciones. Con esta convención, la condición de positividad se sigue cumpliendo. 

 

Lo equivalencia anteriormente establecida tiene mucho sentido, ya que desde el punto de 

vista del análisis de señales. El comportamiento de una señal en un instante de tiempo 

(digamos t = 0) raras veces es de interés. Mientras que el comportamiento de una señal a lo 

largo de un intervalo de tiempo positivo siempre es de importancia. 

 

En muchas aplicaciones, la señal de interés ya es discreta. Por ejemplo, la señal que se 

obtiene desde un reproductor de discos compactos puede ser representada por un conjunto 

de números discretos que representan la intensidad de esta señal de sonido en un intervalo 

de tiempo regular. En estos casos, las señales pueden ser representadas como una secuencia 

tal que X = �, x-1, x0, x1,�, donde cada xj es el valor numérico de la señal en un j-ésimo 

intervalo de tiempo [tj, tj+1]. Teóricamente, la secuencia podría continuar indefinidamente. 

En realidad, la señal usualmente se detendrá en algún punto, lo cual matemáticamente 

puede ser representado por xj = 0 para │j│>N para algún entero N. 

 

Para una señal discreta existe un espacio l2 el cual describe un conjunto de todas las 

secuencias CxxxxX i ∈= − ,...,,,..., 101 , con ∞<∑∞
∞−

2

nx . Y esta definido por la 

ecuación 2.17, 

 
∑
∞

−∞=
=

n
nnl yxYX 2,  

 
(2.17)

 

para ,...,,,..., 101 xxxX −=  y ,...,,..., 101 yyyY −=  



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 43

2.4 La Wavelet Haar 

Existen dos funciones que juegan un papel importante en el análisis de Wavelets, la función 

escala φ (wavelet padre) y la función wavelet ψ (wavelet madre). Estas dos funciones 

generan una familia de funciones que pueden ser utilizadas para reconstruir una señal.  

 

El más simple de los análisis wavelet esta basado en la función de escala Haar, cuya 

representación gráfica se muestra en la figura 2.3. 

 
Fig. 2.3: Gráfica de la función escala Haar 

Con el fin de ilustrar la idea básica de este tipo de análisis, consideraremos la forma de 

onda mostrada en la figura 2.4.  

 
Fig. 2.4: Señal de voltaje de línea con sobre impulsos 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 44

Dicha señal puede ser interpretada como la medida de alguna cantidad física (quizá un ciclo 

del voltaje de una línea) en función del tiempo. Los dos sobre impulsos que se observan en 

la figura 2.4 podrían representar ruido eléctrico originado por una pérdida de conexión 

durante la medición del voltaje.  

 

En la figura 2.5 se puede observar una posible aproximación de la señal de interés 

utilizando la función de escala Haar. Los escalones generados por la función escala Haar 

son muy simples e ilustran la idea general que implica un análisis multiresolución, el cual 

se discutirá en la sección 2.6 con mayor detalle. La principal desventaja de la Wavelet Haar 

es que ella es discontinua, por lo que no aproxima muy bien señales continuas, es por ello 

que la señal de la figura 2.5 no aproxima con mucha exactitud a la señal de la figura 2.4. En 

la sección 2.8 se presentarán otros tipos de Wavelets, las cuales difieren del 

comportamiento de la Wavelet Haar. 

 

 

 
Fig. 2.5: Aproximación de la señal de voltaje de línea con sobre impulsos, utilizando la 

wavelet Haar 

 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 45

2.4.1 Función Haar escala [2] 

La función escala Haar puede ser definida matemáticamente por la expresión de la ecuación 

2.18. 

 ( )


 <≤

=
caso otroen ,0

10 si,1 x
xφ  

 
(2.18)

 

La ecuación anterior concuerda completamente con la gráfica que se observa en la figura 

2.3, para una función escala Haar. 

 

La función φ(x-k) representa la misma gráfica que φ pero trasladada k unidades a la derecha 

(asumiendo que k es positiva). Si permitimos que V0 sea el espacio de todas las funciones de 

la forma: 

 Rakxa k
Zk

k ∈−∑
∈

)(φ  (2.19)

 

en donde k puede variar sobre cualquier conjunto finito de enteros positivos o negativos. Ya 

que φ(x-k) es discontinua en x = k y en x = k+1, una descripción alternativa de V0 es que 

este consiste de todas las funciones constantes cuyas discontinuidades están contenidas en 

el conjunto de los números enteros. Debido a que k varía sobre un conjunto finito, cada uno 

de los elementos de V0 es cero fuera de los límites del conjunto. A este tipo de funciones se 

les conoce como funciones de soporte compacto. La gráfica de un elemento típico de V0 se 

puede observar claramente en la siguiente figura. 

 
Fig. 2.6: Gráfica de un elemento típico en V0 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 46

Es importante hacer notar que una función en el espacio V0 puede no presentar 

discontinuidades en todo el conjunto de enteros (por ejemplo, si en la gráfica de la figura 

2.6 hacemos a1 = a2, entonces la suma es continua en x = 2).  

 

A partir de lo anteriormente establecido, y con el fin de tener una definición más general 

para la función de escala Haar, se puede establecer lo siguiente: 

 

Supóngase que j es cualquier entero no negativo. El espacio de funciones escalón de nivel 

j, denotado por Vj, esta definido por el espacio que abarca el conjunto 

{ }),...22(),12(),2(),12(..., −−+ xxxx jjjj φφφφ  

y que pertenecen a los números reales. Vj es el espacio de funciones discretas y constantes 

de soporte compacto cuyas discontinuidades pertenecen al conjunto: 







 − ,...

2
3,

2
2,

2
1,0,

2
1..., jjjj  

Una función en V0 es una función discreta y constante con discontinuidades que pertenecen 

al conjunto de números enteros. Así pues, cualquier función que pertenece a V0 también 

pertenece a V1, el cual consiste de funciones discretas y constantes cuyas discontinuidades 

pertenecen al conjunto {�, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2,�}. El mismo análisis aplica para V1, V2  y 

así sucesivamente: 

 ...... 1110 +− ⊂⊂⊂⊂ jjj VVVVV (2.20)

 

Estas relaciones de inclusión son de carácter estricto. Así pues, por ejemplo, la función 

φ(2x) pertenece a V1 pero no pertenece a V0 (ya que φ(2x) es discontinua en x = 1/2). 

 

Hay que tener en mente que Vj contiene toda la información relevante hasta una escala de 

resolución del orden de 2-j. Debido a que j es muy grande, la resolución es bastante fina. El 

hecho de que 1+⊂ jj VV  implica que no se pierde información cuando la resolución es más 

fina. Dicha relación de inclusión es también la razón por la cual Vj está definido en 

términos de φ(2jx) en lugar de estar definida como φ(ax) para algún otro factor a. Es decir, 

si por ejemplo, se define a V2 a través de φ(3x-j) en lugar de φ(4x-j), entonces V2 no puede 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 47

incluir a V1 (ya que el conjunto de múltiplos de 1/2 no esta incluido en el conjunto de 

múltiplos de 1/3). 

 

Como consecuencia de lo anteriormente establecido, se desprende el siguiente teorema, el 

cual establece que: 

• Una función f(x) pertenece a V0  si y solo si f(2jx) pertenece a Vj. 

• Una función f(x) pertenece a Vj si y solo si f(2-jx) pertenece a V0. 

 

Con el fin de demostrar la primera parte del teorema anterior, diremos que si una función f  

pertenece a V0, entonces f(x) es una combinación lineal de ( ){ }Zkkx ∈− ,φ . Por lo tanto, 

f(2jx) es una combinación lineal de ( ){ }Zkkxj ∈− ,2φ , lo cual implica que f(2jx) es un 

miembro de Vj. La segunda parte de este teorema puede ser demostrado de la misma forma. 

 

El gráfico de la función ( )xj2φ  es un impulso de ancho 1/2j. Cuando j es grande, el gráfico 

de ( )xj2φ  es similar a uno de los impulsos de una señal que se desea filtrar. Esto es 

deseable para tener un algoritmo que descomponga una señal en sus componentes Vj muy 

eficiente. Una forma de desarrollar dicha descomposición eficientemente es construir una 

base ortonormal para Vj. (utilizando el producto interno L2). Tal como se define en la 

ecuación 2.21. 

 
( ) ( ) 11

1
22

2 ==−=− ∫∫
+∞

∞−

k

k
L

dxdxkxkx φφ
 

(2.21)

 

Si j es diferente de k, entonces φ(x-j) y φ(x-k) tienen soporte acotado, tal como puede 

observarse en la figura 2.7. Por lo tanto se cumple que: 

 
( ) ( ) ( ) ( ) kjdxkxjxkxjx

L
≠=−−=−− ∫

∞

∞−

0, 2 φφφφ  
 

(2.22)

 

y entonces el conjunto ( ){ }Zkkxj ∈− ,2φ  es una base ortonormal para V0. 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 48

El argumento anterior puede extenderse a un caso más general, donde el conjunto de 

funciones ( ){ }Zkkxjj ∈− ;22 2/ φ  es una base ortonormal de Vj. (El factor 2j/2 esta 

presente, ya que: ( )( )∫
∞

∞−

= j
j dxx

2
12 2φ ). 

 
Fig. 2.7: Representación gráfica de φ(x-j) y φ(x-k).  

 

2.4.2 Función Haar Wavelet [2] 

El obtener la base ortonormal de Vj es solo la mitad del trabajo. Con el fin de resolver 

nuestro problema de filtrado de ruido, necesitamos conocer una forma de aislar los 

impulsos que pertenecen a Vj pero que no son miembros de Vj-1. Aquí es donde la función 

Wavelet ψ entra en acción. 

 

La idea es descomponer Vj como una sumatoria ortogonal de Vj-1 y su complemento. De 

nuevo, iniciaremos haciendo j = 1 e identificaremos el complemento ortogonal de V0 en V1. 

Dos factores claves necesarios para construir la función Wavelet ψ son: 

1. ψ es miembro de V1 y entonces ψ puede ser expresado como ( ) ( )∑ −=
l l lxax 2φψ  para 

algunas opciones de Ral ∈  . 

2. ψ es ortogonal a V0. Esto es equivalente a ( ) ( )∫ =− 0dxkxx φψ  para todos los enteros k. 

 

El primero de los requerimientos indica que ψ es construida a partir de una función 

cuadrada de ancho 1/2. Mientras que el segundo requerimiento en el cual se hace k = 0, 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 49

implica que ( ) ( )∫
∞

∞−

= 0dxxx φψ . La función Wavelet (ψ) más simple que satisface ambos 

requerimientos es la función cuya gráfica se muestra en la figura 2.8. Y que puede ser 

descrita por la ecuación 2.23, 

 ( ) )12()2())2/1(2()2( −−=−−= xxxxx φφφφψ  (2.23)

 

con lo cual se satisface el primer requerimiento. Y además se cumple lo establecido por la 

ecuación 2.24. 

 
( ) ( ) 02/12/111

1

2/1

2/1

0

=−=−= ∫∫ ∫
∞

∞−

dxdxdxxx φψ
 

(2.24)

 

Lo anterior indica que ψ es ortogonal a φ. Si k ≠ 0, entonces el soporte de ψ(x) y el soporte 

de φ(x-k) no se traslapan y entonces ∫ =− 0)()( dxkxx φψ . Por lo tanto, ψ pertenece a V1 y 

es ortogonal a V0. 

Luego de haber presentado el análisis anterior, se puede decir que una función Wavelet 

Haar puede ser expresada matemáticamente por la expresión que se observa en la ecuación 

2.25. 

 ( ) ( ) ( )122 −−= xxx φφψ  (2.25)

 

Cuya representación gráfica puede observarse en la figura 2.8. 

 
Fig. 2.8: Representación gráfica de la función Wavelet Haar ψ(x) 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 50

2.5 Análisis Multi-resolución 

Aunque los problemas de resolución en tiempo y frecuencia son resultado del principio de 

indeterminación de Heisenberg y existen independientemente de la transformada utilizada, 

es posible analizar una señal mediante un enfoque alternativo denominado análisis multi-

resolución. 

 

Antes de definir los principios que rigen un análisis multi-resolución, necesitamos 

referirnos al Teorema del Muestreo. La utilidad de dicho teorema radica en que se obtiene 

una reconstrucción aproximada de una señal f  a partir de muestras tomadas de dicha señal 

uniformemente espaciadas a intervalos de largo T. Si la señal es de banda limitada y su 

frecuencia de Nyquist es menor que 1/T, entonces la reconstrucción es perfecta, de otra 

forma solamente es una aproximación, es decir, que el tamaño de T mide la resolución de la 

señal de interés f. Así pues, un típico análisis de la Transformada Rápida de Fourier (FFT), 

tomando muestras de la señal  f  trabaja en una resolución, T. 

 

Ahora bien, si la señal  f presenta intervalos en los cuales varía rápida y repentinamente, y a 

la vez períodos donde su variación es muy lenta, el tipo de análisis en una resolución que se 

describió anteriormente no trabaja bien (debido a las razones descritas en la sección 2.2). 

Para poder llevar a cabo el análisis de dichas señales, Mallat tuvo la idea de hacer dos 

cosas. Primero, remplazar el espacio de las funciones de banda limitada obtenidas del 

teorema del muestreo con una adaptación a la señal. Segundo, analizar la señal utilizando 

versiones escaladas del mismo espacio, pero ajustadas a resoluciones de T/2, T/22, y así 

sucesivamente (de aquí el término análisis multi-resolución) [1], [2]. 

 

El análisis multi-resolución analiza la señal con diferentes resoluciones en diferentes 

frecuencias. A diferencia de la Transformada de Período Corto de Fourier, cada una de las 

componentes espectrales se trata de diferente manera.  

 

Además, el análisis multi-resolución esta diseñado para brindar una buena resolución 

temporal y una resolución en frecuencias pobre para las frecuencias altas y una buena 

resolución en frecuencias junto a una resolución temporal pobre para las frecuencias bajas 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 51

de una señal de interés. Este enfoque tiene especial sentido cuando la señal a analizar tiene 

componentes frecuenciales altas durante períodos de tiempo cortos y componentes 

frecuenciales bajas durante períodos de tiempo largos. 

 

En las secciones anteriores se presentaron varios principios de multi-resolución, como 

condiciones para una función escala. Y que a continuación se presentaran como 

requerimientos básicos del análisis multi-resolución. Si en primer lugar, permitimos que se 

cumpla que Vj, j = ..., -2, -1, 0, 1, 2, �sea una secuencia de sub-espacios de funciones en 

L2(R). El conjunto de espacios { }ZjV j ∈,  es llamado análisis multi-resolución con 

función de escala φ  si las siguientes condiciones se cumplen: 

1. Anidamiento, 1+⊂ jj VV . Lo cual implica que un análisis multi-resolución requiere un 

anidamiento de los espacios generados por las funciones escala. 

2. Densidad, ( )RLV j
2=∪  

3. Separación, { }0=∩ jV  

4. Escalamiento, la función f(x)  pertenece a Vj si y sólo si la función f(2-jx) pertenece a V0. 

5. Base ortonormal, la función φ pertenece a V0 y el conjunto ( ){ }Zkkx ∈− ,φ  es una 

base ortonormal (utilizando el producto interno L2) de V0. 

 

Los valores de Vj son llamados espacios de aproximación. Pueden existir muchas opciones 

para la elección de φ,  correspondiente a un sistema de espacios de aproximación. 

Elecciones diferentes de la función φ  pueden conducir a diferentes análisis multi-

resolución [1], [2]. 

 

Probablemente el tipo más útil de funciones escala son aquellas que tienen soporte 

compacto. Como ya se mencionó anteriormente, una función presenta soporte compacto si 

tiene un valor de 0 (cero) fuera de un intervalo finito. La función de escala Haar es un buen 

ejemplo de una función de soporte compacto. Las funciones de escala asociadas con las 

Wavelets Daubechies no solamente presentan soporte compacto, sino que también son 

continuas. Tener estas dos propiedades en una función escala es muy deseable, porque los 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 52

algoritmos de descomposición y reconstrucción asociados, son computacionalmente más 

rápidos y realizan su trabajo de análisis y reconstrucción de señales de una manera más 

eficiente [2]. 

 

2.6 La transformada Wavelet 

La transformada Wavelet constituye una técnica relativamente nueva que ha sido utilizada 

en los últimos años como una muy poderosa herramienta en el análisis del comportamiento 

local (puntual) de una señal. Dicha transformada fue desarrollada como una alternativa a 

los problemas de resolución tiempo-frecuencia intrínsecos que presenta la Transformada de 

Fourier de Período Corto (STFT). 

 

Al igual que la STFT, la transformada Wavelet hace uso de una función ventana que 

encuadra una señal dentro de un intervalo y focaliza el análisis únicamente en ese segmento 

de la señal. En principio, lo que hace dicha transformada es filtrar la señal de interés en el 

dominio del tiempo mediante filtros de paso bajo y de paso alto, los cuales eliminan ciertas 

componentes de frecuencias (altas o bajas según corresponda) de la señal, luego, el proceso 

se repite para las señales resultantes del procedimiento de filtrado anterior. Por ejemplo, 

supóngase que se tiene una señal con componentes de frecuencia de hasta 1 KHz, en la 

primera etapa de filtrado la señal es dividida en dos partes haciéndola pasar a través de un 

filtro de paso bajo y un filtro paso alto con lo cual se obtienen dos versiones diferentes de la 

misma señal: una de dichas versiones corresponde a las frecuencias de 0 � 500 Hz (filtro 

paso bajo), y otra versión que corresponde a las frecuencias entre 500 � 1,000 Hz (filtro 

paso alto). A continuación, se toma cualquiera de estas dos versiones resultantes y se 

realiza nuevamente el mismo procedimiento, al cual se le denomina descomposición. 

 

En la mayor parte de los análisis de este tipo, la versión de la señal que se utiliza es la parte 

que corresponde al filtro de paso bajo, con lo que, se obtendrían tres conjuntos de datos; 

correspondiente cada uno de ellos a la señal original pero a distintas frecuencias: 0 � 250 

Hz, 250 � 500 Hz y 500 � 1,000 Hz. A continuación se vuelve a tomar la señal 

correspondiente a la parte del filtrado de paso bajo haciéndola pasar nuevamente por los 

filtros paso bajo y paso alto, de esta forma se obtendrían 4 conjuntos de señales 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 53

correspondientes a las frecuencias 0 � 125 Hz, 125 � 250 Hz, 250 � 500 Hz y 500 � 1,000 

Hz. El proceso continua hasta que la señal se ha descompuesto en un cierto número de 

niveles predefinidos. Y finalmente se cuenta con un grupo de señales que representan la 

misma señal, pero correspondientes a diferentes bandas de frecuencia. Para cada una de 

estas bandas se conocen sus respectivas señales, si se juntan todas y se presentan en una 

gráfica tridimensional, se tendría tiempo en un eje, frecuencia en el segundo y amplitud en 

el tercer eje. De esta manera, es posible establecer que frecuencias existen para un tiempo 

dado. Sin embargo, el  principio de indeterminación de Heisenberg, tal y como se explicó 

en la sección 1.4 del presente documento, establece que no puede conocerse la información 

de tiempo y frecuencia de una señal en un cierto punto del plano tiempo-frecuencia, es 

decir, no pueden determinarse con exactitud que frecuencias existen en un instante dado, 

por lo que solamente es posible conocer que bandas de frecuencias existen en un 

determinado y bien definido intervalo de tiempo. Esto, como ya se comentó, es un 

problema de resolución y es de las principales razones por las cuales existe una tendencia a 

reemplazar la STFT por la Transformada Wavelet (WT), ya que la STFT trabaja con una 

resolución fija para todos los tiempos, mientras que la WT hace uso de una resolución 

variable. 

 

Con la WT las altas componentes de frecuencia  presentan una mejor resolución en el 

tiempo, mientras que las bajas frecuencias presentan mejor resolución en el dominio de la 

frecuencia. Esto implica que una determinada componente de alta frecuencia puede 

localizarse mejor en el tiempo (con menor error relativo) que una componente de baja 

frecuencia. Por el contrario, una componente de baja frecuencia puede localizarse mejor en 

frecuencia comparado con una componente de alta frecuencia. 

 

Con el fin de brindar una mejor interpretación de la resolución en el tiempo y la frecuencia, 

en la figura 2.9 (a puede observarse que a altas frecuencias  (fila superior) la cantidad de 

puntos es mayor para un mismo intervalo de tiempo (∆T); es decir, las altas frecuencias 

tienen una mejor resolución en el tiempo. Sin embargo, a bajas frecuencias para el mismo 

intervalo de tiempo existen menos puntos que caracterizan la señal, de lo que se concluye 

que las frecuencias bajas no tienen buena resolución en el tiempo. 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 54

 
Fig. 2.9: Interpretación gráfica de la resolución en el tiempo y la frecuencia de la WT 

 

Por otra parte, para el caso de una señal discretizada en el tiempo, la resolución en el 

tiempo puede interpretarse de manera similar a lo comentado en el caso a), pero ahora la 

información en frecuencia tiene diferentes resoluciones en cada escalón de descomposición 

tal como puede observarse en la figura 2.9 b). Así pues, puede observarse que para un (∆f) 

determinado, la resolución en el tiempo es mejor para las bajas frecuencias que para las 

altas frecuencias, puesto que la separación entre cada escalón de descomposición aumenta a 

medida que se incrementa la frecuencia. 

 

2.6.1 Variables de escala (a) y traslación (b) 

En el análisis de la Transformada Wavelet, el parámetro escala (a) es análogo con el 

parámetro escala utilizado en los mapas topográficos. Así pues, las altas escalas 

corresponden a una visión global no detallada de la señal y las bajas escalas corresponden a 

una �vista� detallada. De igual forma, en términos de frecuencia, las bajas frecuencias (altas 

escalas) corresponden a una información global de la señal que comúnmente abarca toda la 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 55

señal, mientras que las altas frecuencias (escalas bajas) a una información detallada de una 

característica oculta en la señal que comúnmente dura un tiempo relativamente pequeño. El 

escalamiento como operación matemática produce una dilatación (│a│ > 1) ó una 

compresión (│a│ < 1) de una señal. Lo cual nos da el grado de resolución con el cual 

estamos analizando la señal de interés. 

 

Por su parte, el término traslación (b) es utilizado con el mismo significado que tiene en el 

análisis de la STFT y se relaciona con la localización de la ventana a medida que ésta se 

desplaza a través de la señal. Es de hacer notar que este término corresponde a la 

información del tiempo en el dominio transformado. Un punto importante es que la función 

wavelet ψ (función ventana en STFT) se traslada cubriendo toda la señal para cada valor de 

a, es decir, si la escala escogida es pequeña habrán más traslaciones de ψ que si la escala 

escogida es grande; este comportamiento se representa en la figura 2.10. En dicha figura se 

puede observar con mayor detalle que para una escala grande la wavelet ocupa un mayor 

segmento de la señal y por lo tanto tiene mejor resolución en frecuencia mientras que para 

una escala más pequeña el intervalo de tiempo bajo el que se analiza la señal es menor, lo 

que implica mayor resolución en el tiempo. 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 56

 
Fig. 2.10: Proceso de escalamiento y traslación de una señal 

 

En resumen, podemos decir que existen dos principales diferencias entre la Transformada 

Wavelet (WT) y la Transformada de Fourier de Período Corto (STFT): 

• La transforma de Fourier de las señales objeto del estudio no son calculadas. 

• La anchura de la ventana se varía conforme la transformada Wavelet se calcula para 

cada componente espectral. 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 57

Luego de haber definido los principales componentes a tomar en cuenta a la hora de 

realizar el cálculo de la Transformada Wavelet, en las siguientes dos secciones se 

estudiarán con mayor detalle los dos tipos de WT que tienen mayor importancia en el 

procesamiento de señales: la transformada wavelet continua y la transformada wavelet 

discreta [17].  

 

2.6.2 Transformada Wavelet Continua 

La Transformada Wavelet Continua (CWT) pretende expresar una señal f(t) continua en el 

dominio del tiempo, mediante una expansión de coeficientes proporcionales al producto 

interno entre la señal de interés f(t) y diversas versiones escaladas y trasladadas de la 

función wavelet madre ψ(t). Si se establece además, que ambas funciones son de energía 

finita, entonces se puede definir matemáticamente la CWT por la ecuación 2.26 que se 

muestra a continuación: 

 
( ) ( ) dt

a
bttf

a
baCWT ∫

∞

∞−






 −= ψ1,

 
(2.26)

 

Si a la ecuación 2.26 le aplicamos el Teorema de Parseval dicha ecuación puede expresarse 

de la forma descrita en la ecuación 2.27 en términos de la transformada de Fourier de f(t) y 

de ψ(t), así: 

 
( ) ( ) ( ) ωωω

π
ω deaF

a
baCWT bj∫

∞

∞−

−Ψ=
2

1,  
 

(2.27)

 

Tanto en la ecuación 2.26 como en la ecuación 2.27 se pueden observar dos nuevas 

variables (a y b) las cuales fueron definidas anteriormente en la sección 2.6.1. Así pues, la 

variable a controla el ancho de la función ψ(t), y la variable b nos indica la ubicación en el 

dominio del tiempo de ψ(t). 

 

Sin embargo, para que este análisis sea posible y lograr a su vez una perfecta 

reconstrucción de la señal a partir de la transformada, la función ψ(t) debe cumplir con 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 58

cierto criterio denominado condición de admisibilidad la cual queda definida por la 

ecuación 2.28. 

 ( )
( ) 00

0

=Ψ

=∫ dttψ
 

 
(2.28)

 

El cumplimiento de la condición de admisibilidad (ecuación 2.28) implica que el valor 

medio de ψ(t) es igual a cero, lo que a su vez establece que ψ(t) debe tener valores positivos 

y negativos. Además, como ψ(t) es una función que ventaniza la señal de interés sobre un 

intervalo de tiempo dado por a alrededor de un punto t = b se establece entonces que ψ(t) 

debe ser de soporte compacto, es decir, ψ(t) es una onda definida sobre un intervalo de 

tiempo finito. Por otra parte, el hecho que se cumpla la ecuación 2.28 significa 

implícitamente que Ψ(ω) debe presentar un rápido decaimiento cuando ω tiende a cero, lo 

que hace suponer entonces que ψ(t) es una función ventana pasa banda en el dominio de la 

frecuencia (ya que al menos en la frecuencia 0 se detiene).  

 

Desde un punto de vista intuitivo, la CWT consiste en calcular un índice de semejanza entre 

la señal que esta siendo analizada y la wavelet madre, tal como se muestra en la figura 2.11.  

 

 
Fig. 2.11: Procedimiento de cálculo de la CWT 

 

El proceso de cálculo de la CWT de una señal en particular puede ser descrito por los 

siguientes cuatro pasos, los cuales también se ven ilustrados en la figura 2.11 [5], [17]. 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 59

1. Seleccionar la Wavelet Madre adecuada. 

2. Dado los valores de a y b, calcular un coeficiente CWT(a, b) haciendo uso de la 

ecuación 2.26, que represente la correlación entre la wavelet y la sección de la señal 

bajo análisis. Cuanto mayor sea el valor de dicho coeficiente, mayor será la 

similitud entre ambas señales, de lo cual es importante hacer notar que los 

resultados obtenidos dependerán en gran medida de la forma de la wavelet madre 

seleccionada en el paso 1. 

3. Desplazar la wavelet madre en el sentido positivo del eje del tiempo y repetir los 

pasos anteriores hasta que se haya cubierto la totalidad de la señal. 

4. Escalar la wavelet madre en el tiempo, y repetir los pasos del 1 al 3. 

 

La CWT es una Transformada reversible siempre que se satisfaga la condición de 

admisibilidad (ecuación 2.28). El cual no es un requerimiento demasiado restrictivo, ya que 

existen muchas funciones que pueden ser utilizadas como ondas madre y cuya integral es 

cero. Para ello la función debe ser de carácter oscilatorio. 

 

Así pues, la reconstrucción en el dominio del tiempo de una señal, si se conoce la 

Transformada Wavelet Continua se logra a través de la ecuación 2.29. 

 ( ) ( ) ( ) dadb
a

bt
a

baCWT
c

tf
a b
∫ ∫

−= ψ
ψ

22
1,1

 
 

(2.29)

 

En donde cψ es una constante que depende de la onda madre que se utilice y cuyo éxito en 

la reconstrucción de la señal depende de que esta constante, llamada constante de 

admisibilidad, satisfaga la condición expresada en la ecuación 2.30. 

 ( )
∞<

Ψ
= ∫

∞

∞−

ξ
ξ
ξ

πψ dc
2

2
 

(2.30)

 

En donde Ψ(ξ) es la Transformada de Fourier de ψ(t). La ecuación 2.30 implica el 

cumplimiento de las igualdades expresadas en la ecuación 2.28 [13]. 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 60

2.6.3 Transformada Wavelet Discreta 

La principal idea detrás de la Transformada Wavelet Discreta (DWT) en esencia es la 

misma que en la CWT. Pero en este caso, se hace uso de filtros digitales para obtener una 

representación tiempo-escala (frecuencia) de una señal digital (discreta). La CWT tal y 

como se describió en la sección 2.6.2, se calcula variando la escala de la ventana del 

análisis, desplazando la ventana en el tiempo, multiplicando por la señal de interés e 

integrando sobre todo el tiempo. 

 

En el caso discreto, se hace uso de filtros con diferentes frecuencias de corte para analizar 

la señal a diferentes escalas. La señal se pasa por una serie de filtros de paso alto para 

analizar las frecuencias altas y por una serie de filtros de paso bajo para analizar las bajas 

frecuencias. La resolución de la señal se cambia mediante operaciones de filtrado y la 

escala se cambia con operaciones de submuestreo y supermuestreo. 

 

Submuestrear una señal significa reducir la tasa de muestreo, eliminando algunas muestras 

de la señal. Mientras que supermuestrear una señal es incrementar la tasa de muestreo de la 

señal, añadiéndole nuevas muestras, normalmente uno, cero o u valor interpolado [1]. 

 

Luego de esta pequeña aclaración, se puede establecer el funcionamiento de la DWT sobre 

una señal discreta x(n) la cual se hace pasar a través de un filtro de media banda de paso 

alto g(n) y por uno de paso bajo h(n). El filtrado de una secuencia por un filtro digital de 

respuesta impulsiva h(n)  es expresado por la operación de convolución entre ambas señales 

tal y como se puede ver expresado en la ecuación 2.31 que se muestra a continuación: 

 ( ) ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )∑

∑
−=

−=
∗=

k

k

knxkh

knhkx
nhnxny

 

 

 
 
 

(2.31)

 

En donde y(n) es la secuencia a la salida del filtro. 

 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 61

Luego del filtrado pueden eliminarse la mitad de las muestras según el criterio de Nyquist, 

ya que la máxima frecuencia de la señal (frecuencia de corte) es ahora π/2 [rad/s] y no π 

[rad/s]. Puede por tanto, submuestrearse la señal por dos tomando una muestra si y otra no. 

 

La descomposición anterior reduce a la mitad la resolución en el dominio del tiempo, ya 

que la señal completa esta caracterizada ahora por la mitad de las muestras. Sin embargo, la 

resolución en frecuencias se ha duplicado, ya que el ancho de banda de la señal es la mitad 

del ancho de banda de la señal original. 

 

Al procedimiento descrito en el párrafo anterior se le conoce como codificación subbanda, 

el cual se repite sucesivamente a la salida del filtro de paso bajo hasta obtener una 

secuencia de longitud dos. En la figura 2.12 se ilustran los primeros pasos de dicho 

procedimiento. 

 

Finalmente, la DWT  de la señal de interés se obtiene concatenando todos los coeficientes 

desde el primer nivel de descomposición. La DWT tendrá el mismo número de coeficientes 

que la señal original. 

 

 
Fig. 2.12: Algoritmo de codificación sub-banda 



Capítulo 2. Teoría de Wavelets 

 62

Las frecuencias más destacadas de la señal original aparecerán con amplitudes grandes en 

la región de la transformada que incluya esas frecuencias en particular. La diferencia entre 

esta transformada y la transformada discreta de Fourier es que no se ha perdido la ubicación 

temporal de dichas frecuencias. Sin embargo, la resolución de esta localización temporal 

dependerá del nivel en que aparezca la frecuencia. Si la información principal de la señal 

aparece en las frecuencias altas, como ocurre frecuentemente, la localización temporal de 

estas frecuencias será más precisa, ya que vienen caracterizadas por un mayor número de 

muestras. Por otra parte, si la información principal de la señal aparece solo en las 

frecuencias bajas, su localización temporal no será muy precisa, ya que se utilizan pocas 

muestras para representar la señal en esas frecuencias. El procedimiento anteriormente 

descrito, en definitiva ofrece una buena resolución temporal en las frecuencias altas y una 

buena resolución en frecuencia en las frecuencias bajas. Como ya se menciono antes, este 

comportamiento es adecuado para el tratamiento de la mayor parte de señales que se 

encuentran en fenómenos reales. 

 

Las bandas de frecuencias que no sean muy significativas en la señal original, tendrán