UNIVERSIDAD DON BOSCO FACULTAD DE HUMANIDADES , ESCUELA DE EDUCACION (J)esarro{{o efe{ = ( sí y solo sí) "'-; p= (no p, o negación de p) 13 - El valor de verdad de una proposición simple se representa por: v (p); se lee, valor de verdad de "p" v (s); se lee, valor de verdad de "s" - El valor de verdad una proposición compuesta V (p A q) ; se lee, valor de verdad de "p y q" v (p <=> q); se lee, valor de verdad de "p si y solo si q~ 3 La Conjunción y la Disyunción. 3.1 Conjunción Definición.- Si dos proposiciones están unidas por la palabra "y" (o un vocablo equivalente), a la palabra proposición resultante se le llama conjunción, si las proposiciones se simbolizan por p y q, entonces la conjunción se denota por "p/\q" Ejemplo: Simbolice la conjunción: "Dos es número par y es primo" Solución Sean p: "Dos es número par" q: "Dos es número primo" p /\ q : "Dos es número par y es primo" 3.2 Disyunción (inclusiva) Definición: Sean p y q proposiciones se llama disyunción de p con q, a la proposición "p ó q" , la cual se denota por "p v q" 14 Ejemplo: Simbolice la disyunción: "-3 es mayor que -1 ó -7 es mayor que 7" Sean p: "-3 es mayor que -1" q:"-7 es mayor que 7" Luego p v q, sería: "-3 es mayor que -1 ó -7 es mayor que 7" 4 La Negación 4.1 Negación Definición: La negación en una proposición se forma colocándole la palabra "no" o anteponiéndole una frase como "no es cierto que". El símbolo "Cv" se emplea para indicar la negación de una proposición. Ejemplo: Si p: "María es secretaria" ev p : "María no es secretaria" ev p : "No es cierto que María es secretaria" 4.2 Condicional Definición: Sean p, q, proposiciones, se llama condicional o implicación de antecedente p y consecuente q, a la proposición "si p entonces q" la cual se simboliza así: "p • q" Ejemplo: "Si estudias, entonces apruebas el curso" Simbólicamente es equivalente a : p • q, donde 15 p: "estudias" ............................ es el antecedente. q: "Apruebas el curso" .................... , es el consecuente 5 Conectivos de la Implicación 5.1 Bicondicional Definición: Sean p y q proposiciones, se llama bicondicional o equivalencia de p con q, a la proposición "p sí y solo sí q", la cual se denota por p<=> q y se define como (p • q) A (q <= p) Ejemplo: "Cinco es número primo sí y solo sí tiene dos divisores" donde p "Cinco es un número primo" q "Cinco tiene dos divisores Luego "Cinco es número ............... " se representa por: p <=> q 5.2 Tablas de Verdad Toda proposición tiene un valor de verdad, así, si p es una proposición denotaremos su valor de verdad por U (p ). Si p es verdadera, diremos que su valor de verdad es V y escribiremos: u (p) = V En caso contrario, escribiremos: v (p) = F 5.3 Valor de Verdad de una Conjunción El valor de verdad de una proposición compuesta es verdadera sí y solo sí, el valor de verdad de cada una de las componentes es verdadero. 16 Las siguientes opciones que puede asumir la proposición (p A q) se resumen en el siguiente arreglo: Ejemplo: Solución: Opción p 1 V 2 V 3 F 4 F Sean 1 1 1 p: 3 + ¡ = 1 y q:4-10=-6 V (pAq) =? V(p) = F y V (q) = V a V F V F Tabla 1. Luego, V(p A q) = F (la 3ª opción de la tabla 1) 5.4 Valor de Verdad de una Disyunción pAq V F F F El valor de verdad de (p v q) es falso sí y solo sí V(p) = F de lo contrario es verdadero. 17 Su tabla de verdad es: Opción p 1 V 2 V 3 F 4 F Tabla 2 Ejemplo: Sean p: "Un triángulo es un polígono" q: "_!_ es la mitad de 2" 2 V ( p V q) =? Solución: V (p) = V y V (q)= F Q V F V F Luego,V (p v q) = V (2ª opción de la tabla 2) 5.5 Valor de Verdad de una Negación pvq V V V F Sea puna proposición, la negación de pes la proposición "tvp" V(no p) cuya tabla de verdad es: Opción 1 2 Ejemplo: p : " El conjunto N es finito" V ( tv p) =? p C\,p V F F V Tabla 3 18 Solución: v ( p) = F, luego V (<'v p) = V (2ª opción de la tabla 3) 5.6 Valor de Verdad de una implicación La proposición p • q es falsa solamente en el caso que V(p) = V y V(q) = F. Su tabla de verdad es: Opción p q p• q 1 V V V 2 V F F 3 F V V 4 F F V Tabla 4 Ejemplo: S., l O t O O - = en onces - = O ' 1 V (p • q) =? Solución: V (p) = F y V (q) = V Luego, V (p • q) = V (3ª opción de la tabla 4) 5. 7 Valor de Verdad de una Bicondicional La proposición " p <=> q" es verdadera, si p y q tienen el mismo valor de verdad. Su tabla de verdad es: 19 Opción p q p~q 1 V V V 2 V F F 3 F V F 4 F F V Tabla 5 Ejemplos: 1) 16 es par ( p = v ), sí y sólo sí 2 es factor de 16 ( q = v ) 2) 16 es par ( p = v ), sí y sólo sí 3 es factor de 16 ( q = f ) 3) 16 es impar ( p = f) sí y sólo sí 2 es factor de 16 (q = v) 4) 16 es impar ( p = v) sí y sólo sí 3 es factor de 16 ( q = f) Las tablas de verdad de las cinco operaciones binarias pueden resumirse en la siguiente tabla única. p q p.q pvq pAq p• q p~q 1 V V V V F V V 2 V F F V V F F 3 F V F V V V F 4 F F F F F F V Partiendo de operaciones complejas por ejemplo: sea la proposición compleja: ( p.q) • -r. Siguiendo el procedimiento para elaborar tablas de verdad, la tabla queda así: 20 Opción p q r p.q • -r 1 V V V V F F 2 V V F V V V 3 V F V F V F 4 V F F F V V 5 F V V F V F 6 F V F F V V 7 F F V F V F 8 F F F F V V Ejemplo: 2 3 16 - X - = - ~ 5 8 15 V ( p~ q) =? Solución: V {p) = F y V {q) = F Luego, u (p~ q) = V {4ª opción e la tabla 5) 6 Tautología, Contradicción, Contingencia Una proposición compuesta se dice que es una: a) Tautología: Si en su tabla de verdad, todas las combinaciones posibles son verdaderas. Ejemplo: 1. El partido en el poder manipula las elecciones ( p = v ) o el gobierno lo apoya { q = v ). 21 b) Contradicción: Si en su tabla de verdad, la proposición compuesta siempre es falsa. Ejemplo: 1. El partido en el poder respeta las votaciones ( p = f ) o el gobierno respeta el voto ( q = f ). c) Contingencia: Si en su tabla de verdad, el valor de verdad de la proposición compuesta es por lo menos una vez verdadera y por lo menos una vez falsa. Ejemplo: 1. El partido en el poder manipula las elecciones ( p = v ) o el gobierno respeta el voto ( q = f ). 2. El partido en el poder respeta las elecciones ( p = f ) o el gobierno lo apoya ( q = v ). La tabla de verdad representa Tautología, Contradicción y Contingencia. Opción p 1 V 2 F 3 V 4 F 22 q V V F F pvq V V V F Tautología Contirn!encia Contradicción UNIDAD 11: CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES 2.1 Conjunto, Definiciones y Notación El concepto de conjunto ha sido utilizado de forma tan generalizada en todas las matemáticas modernas, que es preciso su conocimiento por parte de todo estudiante de nivel Universitario. Los conjuntos son un medio por el cual los matemáticos hablan de colecciones de objetos de una manera abstracta. Conjunto se puede definir como "Agrupación de objetos simples en un todo": intuitivamente pensamos en conjunto como una colección de objetos del mismo tipo o que tienen una característica común. Los objetos que integran un conjunto se llaman elementos, no se supone ninguna propiedad uniforme de los objetos que forman un conjunto fuera de que están agrupados para constituirlos. La totalidad de estudiantes que estén cursando Matemática 1, forma un conjunto. La colección formada por una pluma, una silla y una flor es otro conjunto. Los números 1, 2, 3 ... , constituyen el que se llama Conjunto de los Números Naturales, que se denota por N. Los números O, 1,2,3 ..... , forman el Conjunto de los enteros no negativos r. Notación. Se usan letras mayúsculas como A, B, C, .... Y, Z para denotar conjuntos, y letras minúsculas, como a,b ,c ...... y, z para denotar los elementos del conjunto. De ser posible, es común colocar entre llaves los elementos del conjunto y separarlos por comas. Para saber si un elemento "x" pertenece a un conjunto "A" se escribe "x E A" y se lee "x pertenece a A". 23 Si "x'' no es elemento de "A", entonces escribiremos "x12: A" y se lee " x no pertenece a A". Ejemplo: Sea B = {5,7,9}. Es claro que 7EB, 5EB, 9EB, 212:B, ya que 2 no está en el conjunto B. Existen dos maneras de expresar o definir a un conjunto: a) Por Extensión.- Cuando se pueden enumerar o listar los elementos del conjunto, separados entre sí por comas y encerrarlos todos entre llaves. Ejemplo: A= { 2,4,6,8, 10} b) Por Comprensión.- Cuando se da una propiedad que caracteriza sus elementos. Ejemplos: a) B = El conjunto de los números enteros mayores que dos. (por descripción verbal) b) C = { x / x es un número Natural impar} e) D = {xi x E Z,-3 < x < 15 } .... (por fórmula) Cuando un conjunto se define por medio de una regla, ésta debe expresarse con palabras o bien, por brevedad, con símbolos. Ejemplos: a) Enumerar los elementos del Conjunto X = { x / x = 2n, n E Z +} precisamente se encuentran los valores que toma n. n toma los valores de O, 1,2,3 ...... , puede tomar también valores negativos -1,-2,-3,-4 24 Se determinan ahora los valores que adquiere 2n (2n significa 2 por n), 2n se obtiene multiplicando cada uno de los números -1,-2,-3, ... por 2, de modo que x = 2n toma los valores de 0,2,4,6,8, .... por consiguiente X= { -6,-4,-2, .... } Nota: { x / x = 2n, n E Z} se puede escribir como {2.J1 / n E z} b) Enumerar los elementos del conjunto H = { 3x I o < x < lo, x E N} X toma valores de 1,2,3,4,5,6,7,8,9. 3x toma valores de 3,6,9, 12, 15, 18,21,24,27. entonces H = { 3,6,9,12,15,18,21,24,27} 1.1 Conjunto Nulo o Vacío. Definición: El conjunto que no tiene ningún elemento se llama Conjunto nulo o vacío y se denota por • Ejemplo: a) = { X E U/ X -::f:. X } b) El conjunto de los números naturales entre 1 y 2 es vacío. c) El conjunto de satélites naturales del planeta Venus también es vacío. 25 Ejercicios 1 INDICACIONES: Enumere los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos 1. Los nombres de los días de la semana. 2. Los nombres de los meses del año que tiene exactamente 30 días. 3. Los nombres de los continentes de la Tierra. 4. Los nombres de los departamentos de El Salvador que inicien con la letra "S". 5. Los números naturales pares entre 1 y 15. 6. Los números naturales divisibles entre 5. 7. Los números naturales entre 40 y 55 que son divisibles entre 15. 8. {xlx=n+7,nEN} 9. {xlx=5n,nEN} 10.{ x/x = 7n-3,n EN } 11. { 511 + I/ n E N } 12.{ 611-3/n EN } 26 13. { 4x/ x < 5,x EN } 14.{3x/1 < x < 7,x EN} 15. { 4 x I O < x < ll, x E N } 1.2 Subconjuntos. Definición: Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un elemento de B. Si A es subconjunto de B, se escribe A e B . Nota: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Ejemplos: 1. Si A = {1,2,3} y B = {1,2,3A} entonces A e B 2. Los subconjuntos del conjunto {1,2,3} son: {1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1 }, {2}, {3}, rp . Nota: El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto. La notación A et B se lee "A no es subconjunto de B", esto significa que existe por lo menos un elemento de A que no está en B. Ejemplo: Si A= {a,b,c } y B = {1,2,a,b }, entonces A et B 27 1.3 Conjuntos Iguales. Definición: Dos conjuntos A y B son iguales, lo cual se expresa A= B, si todo elemento de A es elemento de 8 y todo elemento de 8 es elemento de A. Nota: A = 8 significa que las relaciones A e B y B e A se cumplen simultáneamente. Ejemplos: Sea A = {1,2,3} y B = {3, 1,2}, entonces A = B. AcB y BcA La notación A * 8, que se lee "A no es igual a 8" significa que existe por lo menos un elemento que pertenece a A pero no a 8, o bien por lo menos un elemento que pertenece a 8 pero no a A. Ejemplo: Si A= {1,3,5} y B = {1,2,3,5}, entonces A * B aunque A e B, B et. A 28 jercicios 2 ~DICACIÓN: Escriba la expresión verdadera o falsa para cada uno de los 1uientes ejercicios. an A y B dos conjuntos. 1. Si todo elemento de A es elemento de B, entonces A e B 2. Si X e Y y a E Y, entonces a E X 3. Si y E B, ¿entonces y es subconjunto de B? 4. Escriba todos los subconjuntos del conjunto {1 }. 5. Si A= {a,b }, use uno de los símbolos , E,~,c o et:. para hacer verdadera c-Bd8 un8 de las siguientes expresiones. (Escríbalo en el espacio entre las dos expresiones). a) a A b) e A e) {a} A d) {a,b} A e) {a,c} A 6. Dados los conjuntos A = {1,2,3}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {1,2,3,4,5} y E = {1,2,3,4,5,6, 7}, determine cuál de los enunciados siguientes son verdaderos y cuáles son falsos. a) A cB b) Bct:.C e) AcD d) CcD 29 e) BcB f) e A 2 Operaciones con Conjuntos. 2.1 Unión. Definición: La unión de dos conjuntos A y B, la cual se denota por AUB, es el ccnjt.:ntc de todos los elementos que están el conjunto A y/ o en el conjunto B. Es el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los dos conjuntos. AUB={x/XE AOXE B}. Ejemplos: 1 ). Sea A= {1,2,3} y B = {1,2,5} Entonces AUB = {1,2,3,5} 2). Sea A = {2,4,6} y B = {a,b,c} Entonces AUB = {2,4,6,a,b,c} Nota: Para dos conjuntos cualesquiera A y B se cumple 1. Ac (AUB) 2. Be (AUB) 3. AUB = BUA 4. AU if>=A 30 2.2 Intersección Definición: La intersección de dos conjuntos A y B, la cual se denota por An B, es el conjunto de elementos que están a la vez en ambos conjuntos A y B. AnB={x/xEA y xEB} Ejemplos: Si A= {1,2,3} y B = {1,3,5} Entonces An B = {1,3} Si A= {a,b,c} y B = {d,e,f} Entonces A n B = r/J 2.3 Conjuntos Disjuntos Definición: Dos conjuntos A y 8 son Disjuntos o Ajenos si An B = rp Nota: Para dos conjuntos cualesquiera A y B se cumple 1. (A n B) e A 2. (A n B) e B 3. (AnB)=(BnA) 4. AnfP=fP Ejemplos: Dados los conjuntos: A={xlI -3, 1 > -2. La dirección positiva es hacia la derecha, mientras que la negativa es hacia la izquierda. 3.1 Suma de números enteros Para sumar dos números enteros negativos (-a) y (-b) en la recta numérica, se empieza en el origen. "b" unidades "a" unidades -(a+b) -a O Se recorre "a" unidades en la dirección negativa, hacia la izquierda del cero, y se llega a la gráfica del entero negativo (-a). A partir de este punto, se recorre "b" unidades en la misma dirección y se alcanza así el punto que está a a+b unidades a la izquierda del cero. La coordenada de este punto es -(a+b) e igual a la suma de los enteros negativos (-a) y (-b). Ejemplo: Sumar -4 y -3 en la recta numérica. Solución: Se recorren 4 unidades en la dirección negativa partiendo del origen y, luego, 3 en la misma dirección. De esta manera se llega al punto cuya coordenada es -7. Por consiguiente (-4) + (-3) = -7 3 unidades 4 unidades • • -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 35 Ejemplo: Calcular 8 + (-6) en la recta numérica. Solución: Partiendo del origen, se recorren 8 unidades en la dirección positiva y se alcanza la gráfica del número +8. A partir de este punto, se recorren 6 unidades en la dirección negativa y se llega al punto cuya coordenada es +2. Por consiguiente 8 + (-6) = 2 i 1 1 1 1 1 1 o 1 2 3 4 5 6 7 8 Ejemplo: Calcular 2 + ( -9 ) en la recta numérica. • 1 1 1 1 1 1 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 Por tanto ( -9) + 2 = -7 • 1 1 1 1 1 1 1 1 i -9 -8 -7 -6 5- -4 -3 -2 -1 o 36 Ejercicios 3 Calcule gráficamente las sumas siguientes. 1).(-4)+(-1) 2). (-2) + (-2) 3).6+(-3) 4).4+(-2) 5). 4+(-7) 6). 2 + (-10) 7). 7 + (-7) 8). (-8) + 10 9). (-2) + 6 10). (-5) + 2 11).(-10)+10 12). 10 + (-6) + (-8) 3.2 Sustracción o resta de números enteros Definición: Si la suma de dos números es cero, se dice que los números son inversos aditivos. Para cada número a E z existe un número único (- a ) en A tal que a + (- a ) = O Por consiguiente, los números a y (-a) son inversos aditivos. El número (- a ) se denomina algunas veces el negativo del número " a" . Observación: El negativo del número (a) es - (a) o simplemente -a. Ejemplos: 1. (-5) es el inverso aditivo de 5; 5 + (-5) = O 2. 8 es el inverso aditivo de (-8); (-8) + 8 = O 37 Teorema 1. Si a E N entonces - (-a)= a Demostración. Se hizo notar antes que no solamente es (- a ) el inverso aditivo de a , sino que también a lo es de (- a ). Puesto que (-a)+ [-(-a)]= O, - (-a) es el número aditivo de (-a). De esta manera -(- a ) y a son inversos aditivos de (- a ), puesto que los inversos aditivos son únicos, -(- a ) = a . Ejemplo: - (-1 O) = 1 O Definición: Si a, b EN, entonces a -b =·a + (-b); o sea sustraer o restar b de a es igual a sumar el inverso aditivo de b al número a . Nota:+ (-a)= -a Ejemplo: +(-4) = -4 Teorema: si a, b E N, entonces (-a)+ b = -a +b = -( a -b) Nota: a-b= a+(-b)=(-b)+ a=-b+a Observación: Cuando a es numéricamente menor que b y se tiene - a +b, se escribe como +b- a y luego se efectúa la operación. -7+19 =+19--7 = 12 Cuando a es numéricamente mayor que b se tiene a + b, se escribe en la forma -( a - b) y luego se realiza la operación. -1 O+ 8 = -( 1 O - 8) = -2 38 Ejemplos: 1 ) ( -8) + 6 = -8 + 6 = -( 8 - 6 ) = -( 2 ) = -2 2) 5 - 8 = - 8 + 5 = -( 8 - 5) = -3 3) 1 O - ( -6 ) = 1 O + 6 = 16 Nota: -a-b=(-a)+(-b)= -( a+b) Nota: - 9 - 13 = ( -9) + ( -13 ) = -( 9 + 13 ) = -22 • Si a> b, entonces a - b > O 365-294 = 71 • Si a = b, entonces a - b = O 259-259 = O • Si a > b, entonces a - b > O 2641-5473 = - 5473 + 2641 = -(5473-2641) = -2832 Nota: Si a , b E N y a i= b , entonces a - b -:/= b - a 7 - 5 = 2 mientras que 5 - 7 = -2 39 Ejemplos 1) -7-15=-(7+15)=-22 2) 8- 3 + (-7) - (-6) = 8 - 3 - 7 + 6 = 8 + 6 - 3 - 7 =(8+6)-(3+7) = 14-10=4 3) 1 O + ( 4 - 12 ) = 1 O + ( -8 ) = 1 O - 8 = 2 4) 7 + ( 2 - 15 ) = 7 + ( -13 ) = -13 + 7 = -( 13 - 7 ) = -6 5) -17 + ( 6 -14) = -17 + ( -8) = -17 -8 = -( 17 + 8) = -25 6) 6 -( -4 + 8) = 6 - (4) = 6 -4 = 2 7) 12-(3-10)=12-(-7)=12+7=19 Ejemplos 1) Restar (5) de (7) (7)-(5)=7-5=2 2) Restar (10) de (3) (3)- (10) = 3-10 = -10+3 = - (10-3) = -7 3) Restar (-5) de (7) (7)- (-5) = 7 + 5 = 12 4) Restar (5) de ( -7) ( -7 )- ( 5) = -7 - 5 = - ( 7 + 5) = -12 5) Restar (-5) de (-7) (-7)- (-5) = -7+5 = -(7-5) = -2 6) Restar (-15) de (-9) (-9) - (-15) = -9 + 15 = 15 - 9 = 6 ' 40 Ejercicios 3 Obtenga el valor de cada una de las siguientes expresiones 1) (-3) + (-6) 2) (-4)+(-10) 3) (-12) + (-7) 4) 17 + (-8) 5) 25+(-13) 6) 22 + (-19) 7) 8 + (-12) 8) 9+(-17) 9) 12 + (-15) 10)-5+7 11)-8-10 12) -20 +13 13) 4- 7 + 8 14) 7 -20 + 18 ---------------- 15) 16-27 + 5 _______________ _ Efectúe la suma de cada una de las siguientes parejas de números. 1) 354 y - 78 2) -215 y 370 3) 280 y-573 4) -735 y 216 5) -164 y -253 41 En los ejercicios siguientes, restar el primer número del segundo: 1) 10 de 13 2) 20 de 12 3) -8 de6 4) - 4 de 15 5) 2 de 9 6) 10 de-7 7) -14 de -25 8) -30 de -18 9) 164 de 238 10) 891 de 274 42 3.3 Multiplicación de enteros La multiplicación de enteros positivos es la misma que la de los números naturales. Se requiere solamente definir el producto de un entero positivo y uno negativo y el de dos enteros negativos. Teorema: Si a, b E N, entonces a (-b) = - ( a b). Es decir el producto de un entero positivo y uno negativo es un entero negativo. Ejemplo: 3(-4) = -(3 x 4) = -12 Teorema: Si a, b E N, entonces (-a) (-b) = a b Demostración: (-a) (-b) = [- (a)] (-b) = [ - ( a ) ( -b) ] = - [-( a b)] = Gb O sea el producto de dos enteros negativos es uno positivo. Ejemplos: 1) (-6)(-9)=6x9=54 2) -5 X 4 X 3 = [-5 X 4] (3) = (-20) (3) = -60 3) 7(-8) (6) = [ 7(-8)] (6) = (-56) (6) = -336 4) -2(-9)(10) = [-2 (-9 )] (10) = (18) (10) = 180 5) -3(-4) (-8) = [-3(-4)] (-8) = (12)(-8) = -96 43 Nota: Cuando una expresión contiene sumas, restas y multiplicaciones sin símbolos de agrupación, se efectúan primero las multiplicaciones antes que las sumas y restas. (el paréntesis significa multiplicación) Ejemplos: 1) 12(3-9)-10 = 12(-6)-10 = -72-1 O= -82 2) 12 + 4(3-12) = 12 + 4 (-9) = 12-36 = -24 3) 15-7(2-11)=15-7(-9) = 15 + 63 = 78 4) 20 (-4-1)-13 (-8+2) = 20(-5)-13 (-6) = -100 + 78 = -22 5) -3( a +2b -5) = -3( a)+ (-3)(2b) + (-3)(-5) = -3G-6b + 15 Ejercicios 3 Encuentre los valores de los siguientes ejercicios. 1) 5(-6) 2) -7(8) 3) -15(-4) 4) -8(5)(6) 5) 7(-2)(3) 6) 5(-4)(0) 7) 9(7)(-2) 8) 17(4)(-1) 9) -8(3)(-2) 44 1 O) 4(-5)(-8) 11) 20-(-18)+ 8 (-2) 12) 12 -2 X 8 + 2 - (-9) 13) 9x7 -6x10 - 7(-4) 14) 8+2(-4)-6(7-8) 15) 8x12- 5(-4) + 7(2-10) Efectúe las multiplicaciones 16) 4( a -2) 17) 8(2G-3) 18) -2 ( a + 6) 19)-12(3-G) 20) -2(4-5 a) 21) 2( a -b-4) 22) 2(3 a -b-1) 23) -8( a -b-2) 3.4 División de números enteros. De la multiplicación se tiene 4 x 6 = 24. Cuando el número 6 se multiplica por 4, el resultado es 24. Dicho número (6) se llama cociente de 24 dividido por 4. En símbolos escribimos 24 + 4 = 6 o bien 24 = 6. El símbolo + se lee "entre" o 4 "dividido por" y significa división. Definición: Si a ,b, e E Z con b -:1:- O y a= be entonces ~ = e b 45 Cuando ~ = e , el número se denomina dividendo, b es el divisor y c ó ~ se b b llama cociente. El cociente ~ también se denomina fracción; a es el numerador b y b es el denominador de la fracción. A veces, nos referimos a a y b como los términos de la fracción. Ejemplos: 16 1 ) - = 8 ya que 2 x 8 = 16 2 -21 2) - = 3 puesto que (-7)(3) = -21 -7 54 3) - = -9 dado que (-6)(-9) = 54 -6 -15 4) - = -5 ya que 3(-5) = -15 3 Nota: El cociente de dos números positivos o dos negativos es uno positivo. El cociente de un número positivo dividido por un negativo, o bien un número negativo entre uno positivo es un número negativo. Cuando una expresión contiene multiplicaciones y divisiones sin símbolos de agrupación, se efectúan dichas operaciones en el orden que aparezcan. Ejemplos: 1) 6x2 +4= 12 +4=3 2) 24(-3) + 9 = -72 +9 = -8 3) 48 + 8 X 2 = 6 X 2 = 12 4) 96 + (-6)x8=-16x8=-128 5) 104 + 13 + 2 = 8 + 2 = 4 46 Cuando una expresión contiene las cuatro operaciones aritméticas sin símbolos de agrupación, se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan, antes de efectuar las sumas y restas. Ejemplos: 1) 36 + 12+6 = 3+6=9 2) 16 + 8 - 4 = 2- 4 = -2 3) 7+28 +(-7)=7+(-4)=7-4 =3 4) 27 + 9x3+2x8-8=3x3+16--8 = 9 + 16 -8 = 25 - 8 = 17 5) -32 + 4 X 2 -6 + 2 + 4 = -8 X 2 - 3 + 4 = -16-3+4 =-19+4=-15 Si la expresión contiene símbolos de agrupación con solamente números específicos en su interior, primero se llevan a cabo las operaciones incluidas en dichos símbolos. Ejemplos: 1) (27-3) +8 + 4 ( 5-7) = (24) +8 + 4 (-2) =3-8=-5 2) 72 +(-8)x2-4 +(6-4)=(-9)x2-4 +(2) = -18-2 = -20 47 5 El cero y la División ::1 producto de cero y cualquier número a E Z es cero x5 =O, 0(-6) = O _a división se define a partir de la multiplicación. = 4 porque 2 x 4 = 8 y ~ = -3 ya que 6(-3) = -18 6 ;onsidérese _Q ; se busca un número a E Z tal que 8 x a = O. Este número es 8 cero. \hora bien consideremos i ; en este caso buscamos un número a E Z tal que o >< a = 4. íal número no existe, puesto que O x a= O para todo a E Z. ~onsidérese por último _Q ; ahora se busca un número b E Z tal que O x b = O. o :ste enunciado es cierto para cualquier número b E Z K 4 = Ü, 0(-12) = Ü , Ü X Ü = Ü :s decir, b no es un número único y un cociente debe serlo. >or consiguiente, para cualquier número a * O se tiene. = o ~ = no esta definido _Q no es un número único es indeterminado o o 48 Observación Puesto que P no está definido cuando q = O, todos los denominadores de las q fracciones se supondrán diferentes a cero. Ejercicios 2.3.4 Obtenga el valor de cada una de las siguientes expresiones. 1) 56 + 8 2) 48 + 16 3) 24 + (-6) 4) 48 + (-8) 5) -16 + 8 6) -36 + 4 7) -18 + (-9) 8) -63 + (-7) 9) 2x8 +4 10)10x6+15 11)6+2+9+3 1 12) 48 + 16 - 4 X 2 13) 15 + (-3) + 8 14) 18 + (-3) + 14(-2) 15) 9 + 3 X 2 + 7 X 8 - 3 16) 12 +4 X 3 - 8 +4 x2 17) 27 X 3 + 9 + 2 (6 - 4) 18) 24 X 5 + 12-10(6-3) 19) 7 + 3(8-5) - 4 + (-2) 20) 15-2(-5)- (20-4) +8 49 4 El Conjunto de los Números Racionales Dados a,b E z,b -:f:. o, el cociente 9--- no siempre existe en el conjunto de los b enteros, por ejemplo cuando a = = y b = 3. Esto pone de manifiesto la necesidad de ampliar el conjunto de los enteros. Definición: Cuando el conjunto de los enteros se extiende para incluir todos los cocientes de la forma P, donde p,q E z,q -:f:. o se obtiene el conjunto de los q números racionales denotado por Q. Q ~ { :1p,q EZ,q ;e o} Observemos que 9--- en Q es igual a a en z . Del mismo modo 2ª en Q es 1 2 igual a a en Z . De este hecho resulta que las representaciones fraccionales de los enteros no son únicas, lo cual conduce a la siguiente definición: Si P y !_ E Q,, entonces P = !_ sí y sólo sí ps = qr q s q s De la definición se tiene que si P E Q y k E z,k -:f:. o entonces q p - k'p --- q kq Ejemplos 1) ~ = 5(2) = 1 O 3 5(3) 15 - 7 - 3(-7) 21 2)-=--=- 4 -3(4) -12 50 p - p (-1)(-p) p lota: Si - E O entonces -- = -- ----- = - e¡ - q ( - 1 )( q) - q Definición: Las fracciones P y kp se llaman fracciones equivalentes. q kp Cuando la fracción P se escribe en la forma kp , se dice, que está en términos q kq 1ayores. Si la fracción kp se expresa en la forma P , donde p y q no tienen factores kq q omunes, se considera que está en términos mínimos o reducida. Ejemplos: Escribir una fracción equivalente ~ con --42 como denominador. 7 olución: puesto que --42 = (-6)(7) se tiene que _ (-6)(5) - 30 ---= (-6)(7) -42 Expresar en fracción 72 en su forma reducida 80 72 8x 9 9 Solución: - = -- = - 80 8 X 10 10 51 4.1. Reducción de Fracciones Definición: El entero mayor que divide a un conjunto de enteros se denomina su máximo común divisor (o factor) y se denota con la abreviatura M.C.D. El máximo común divisor de un conjunto de números contiene todos los factores primos que son comunes a todos los miembros del conjunto. y a cada factor primo lo contiene el mínimo número de veces que está contenido en cualquiera de los números. Ejemplo: Encontrar el M.C.D. de los números 60, 72, 84. Solución: Primero factorizamos los números en sus factores primos 60 = 2. 2. 3. 5 72 = 2. 2. 2. 3. 3 84 = 2. 2. 3. 7 El máximo número divisor es 2. 2. 3 = 12 Cuando el máximo común divisor de dos números a y bes 1, decimos que ambos son relativamente primos. El M.C.D. de 64 y 75 es 1. Por lo tanto, estos números son relativamente primos. Una aplicación de M.C.D. es la reducción de una fracción a sus términos mínimos, empleando la regla Ap - p - - - kq q Ejemplo: Reducir la fracción 24 a sus términos mínimos. 36 Solución: se expresa 24 y 36 en sus factores primos y luego se obtiene su M.C.D. 24 = 2. 2. 2. 3 52 36 = 2. 2. 3. 3 MCD = 2. 2. 3 = 2 P . . 24 12.2 2or cons1gu1ente - = - = - 36 12.3 3 r? Ejemplo: Reducir la fracción _:,_ a sus términos mínimos. 288 Solución: 252 = 2. 2. 3. 3. 7 288 = 2. 2. 2. 2. 2. 3. 3 M.C.D. = 2. 2. 3. 3 = 36 252 36.7 7Por lo tanto - = - = - 288 36.8 8 Nota: es posible reducir una fracción sin calcular el M.C.D. Se factorizan ambos números y se divide tanto el numerador como el denominador por los factores comunes. 252 288 (�).od).7 (�).2.2.2.(y.1) Nota: a+b e significa (a+ b )+ e Ejemplos: 1)4-l..9=13 8 8 2) 15 - 4 = _!J_ 12 12 = 7 8 53 3) 25-10 _ 15 _ 5 ------- - 9 9 3 ·Nota: a h+c Ejemplos: 6 6 1) --- 3+4 7 significa a+ (b + e) 8 8 4 2) -=-=- 9-19 -10 -5 Nota: a+b significa (a +b) + (e +d) c+d Ejemplos: 2) 16-4_12 15-2 13 Observación: Redúzcase siempre la fracción final. 1) 8+9_17 4+3 7 5-t Ejercicios 4 Encuentre el numerador o denominador faltante 1 ) = ") 6 2) = 8 72 ") 3) - = 3 12 ... 12 4) ., = 16 5) 6 24 = 7 6) 8 - = - 9 -27 Reduzca las fracciones siguientes a sus términos mínimos. 7) 4 12 8) 12 30 9) :-i -40 1 O) 72 63 11) 96 128 12) s 12 55 Obtenga los valores de las expresiones siguientes: 13) 14) 15) 16) 17) 18) 2 ~ 11 .... 7-4 4 6-17 ., ., 20+7 -6 25-5 -5 15 -18 -9 4.2 Suma de Números Racionales Definición: Si p ,!__ E Q, entonces P +!__ = p+r q q q q q Es decir, la suma de los números racionales con un mismo denominador es un número racional cuyo numerador es la suma de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común. 56 Ejemplos: 1 ) 2 5 2+5 7 -+-=--=- 13 13 13 13 3 5 3+5 8 1 2) -+-=-=-=- 16 16 16 16 2 La definición de suma se puede extender al caso de números racionales con denominadores distintos. Puesto que P = ps y !._ - _qr q qs s qs S t. p r ps qr ps + qr e rene-+-=-+-=--- q s qs qs qs El número qs es un múltiplo común de q y s. Ejemplo: 4 1 4(6) (7)(1) ( 4)(6) + (7)(1) 24 + 7 31 -+-=--+--=-----=--=- 7 6 (7)(6) (7)(6) (7)(6) 42 42 Definición: El menor entero positivo divisible por cada uno de los miembros de un conjunto de enteros se llama su mínimo común múltiplo y se denota con la abreviatura m.c.m. El mínimo común múltiplo de un conjunto de enteros debe contener todos los factores primos, cada uno de ellos el máximo número de veces que esté contenido en cualquiera de los números. 57 Ejemplos: Encontrar el mínimo común múltiplo de 12, 16, 18. Solución: Se factorizan los números en sus factores primos 12 = 2.2.3 16 = 2.2.2.2 18 = 2.3.3 m.c.m. = 2.2.2.2.3.3 = 144 Obtener el mínimo común múltiplo de 36, 48, 60. Solución: Se factorizan los números en sus factores primos. 36 = 2.2.3.3 48 = 2.2.2.2.3 60 = 2.2.3.5 m.c.m = 2.2.2.2.3.3.5 = 720 El número común múltiplo de los denominadores de un conjunto de fracciones se denomina mínimo común denominador y se denota con la abreviatura m.c.m con minúsculas para distinguir de M.C.D, que es el máximo común divisor. Para sumar fracciones con denominadores diferentes primero se halla el mínimo común denominador y luego se combinan utilizando la regla: p r p+r -+-=-- q q q 58 Ejemplo: 7 5 2 Efectuar - + - -l- - 12 18 9 Solución: 2_ + 2_ + _3_ = 21 + ~ + _!_ = 21 + 10 + 8 = 39 = 13 12 18 9 36 36 36 36 36 12 4.3 Sustracción de números racionales De la definición de adición o suma se tiene que: p - -p = p+(-p) =Q=O q q q q Por consiguiente - P es el inverso aditivo de P q q También P - P = o ; o sea, - P es el inverso aditivo de P q q q q p -p p Por lo tanto - - = - = - q q -q . 2 -2 2 Por eJemplo: - - = - = - 3 3 -3 La sustracción o resta de números racionales se define en base a la adición. p r p -r p+(-r) p-r Esto es ---=-+-=---=-- q q q q q q También p _!__ = p + -r = P(s) + q(-r) = Ps+q(-r) = Ps-qr q s q s q(s) (q)s qs qs 59 Ejemplo: ... 7 3-7 -4 1) ---=--=-=-- 8 8 8 2 ... 1 3(2)-1(5) 6-5 l 2) ---- = --=- 3) 2 9 5 --- - 10 12 5(2) 10 10 54-25 29= 60 60 El mínimo común denominador es: m.c.d = 48 � : � _2__ _ 2_ = 3(9) -4(5) = 27 -20 = .!_ " 16 12 48 48 48 . 7 5 13 Combinar ---+- 12 9 18 Solución el m.c.d. = 36: �7 -� + .!2 = 3(7)-4(5)+ 2(13) "-{2 9 18 36 21-20+26 27 3 =----=-=- Ejercicios 4 36 36 4 Encuentre el mínimo común múltiplo de cada uno de los siguientes conjuntos de números. 1) 2,3,4 2) 4,9,12 3) 6,9,12 60 _, 8 .) 5 4) 6.10,18 5) 2.3,5 Efectúe las siguientes operaciones con fracciones y expresar el resultado en forma reducida. 1 ) 4 -~- 3 .... .) 2) 5 7 .... 6 .) 3) 2 4 -+- 7 7 I 4) 5 8 -+- 13 13 5) 11 9 15 -+--- 16 16 16 6) 20 9 6 ---+- 17 17 17 7) 7 15 8 ---+- 19 19 19 4.4 Multiplicación de números racionales Definición: Si P !_ E O entonces P x !_ = pr , ~ q s q s qs Es decir, el producto de dos números racionales es un número racional cuyo numerador es el producto de los respectivos numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores respectivos. 61 Ejemplos: 1 5 2x5 1 O1) -- X - = - = - 3 7 3x7 21 2) �X -10 _ 3(-10) _ -30 _ -� 5 21 5(21) 105 7 4.5 División de los números racionales Definición: Si el producto de dos números es igual a 1 se dice que los números son inversos multiplicativos o recíprocos. Si P E O y P -:1:- O , entonces P x 2... = pq = 1 q - q q p qp Por consiguiente, P y q son recíprocos. q p La división de números racionales se define a partir de la multiplicación. Si P, !... E Q y !... -:1:- O, entonces q s s p P x!_ P x!_ P +!_=_g___= q r= q r= P x!__ q s r !_x!_ I q r s s r 62 Definición: S. p ,. ·) r O t 1 - , - -= (_ y - � , en onces q s s p r p s -+-=-x- q s q r De modo que dividir por una fracción es equivalente a multiplicar por el recíproco de ella. 3 2 3 3 9 1) -+-=-x-=- 4 3 4 2 8 - 5 25 5 81 5x81 27 2) -+-=--X-=--=- 6 81 6 25 6x25 1 O 3) _ 12 : (- 9) = 12 : 28 = 12x28 = 16 35 28 35 9 35x9 15 Ejercicio 4 Efectué las operaciones indicadas y simplifique 2 1) -X- 4., 2) 5 -X- 15 3) 7 -x- 11 4) 8 12 --x- 16 63 .., .) 8 ., 4 8 9 5) 22( 16 ) 24\_ 44 6) 5 5 6 7) 3 9 --- 16 8) 15 9 --- 8 9) 12 32 ---:-- 21 14 10)- 26 + 39 27 36 5. Factorización de números 5.1 Factorización de números Definición: El conjunto de los número primos consta de todo aquel número natural mayor que 1 que sea divisible únicamente por el mismo y la unidad. Los números primos menores que 100 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,41, 43,47, 53, 59,61,67, 71, 73, 79, 83, 89, 87,97. Definición: Un número natural mayor que 1 se llama compuesto si no es primo. Todo número compuesto puede expresarse como un producto de primos en una y solamente una forma, sin tener en cuenta el orden de los factores. Este enunciado se conoce como el Teorema Fundamental de la Aritmética. Las notas siguientes son útiles para factorizar un número compuesto en sus factores primos. 64 1 .) Nota: Un número es divisible por 2 si termina en 0,2,4,6,8 Ejemplo: El número 714 es divisible por 2, ya que termina en 4. Nota: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Ejemplo: El número 528 es divisible por 3, dado que la suma de sus dígitos es 5+2+8 = 15 Nota: Un número es divisible por 5 si termina O ó 5. Ejemplo: El número 930 es divisible por 5, puesto que termina en O. Para encontrar los factores primos de un número dado, se empieza con los números primos en orden. Se verifica si el número es divisible por 2; si es así, se divide por 2 y se obtiene el cociente. Si éste último también es divisible por 2, se divide nuevamente por la misma cantidad, y así sucesivamente hasta obtener un cociente que no sea divisible por 2. Luego se analiza si el cociente es divisible por 3. Cuando se haya dividido por 3 todas las veces posibles, se verifica si el cociente es divisible por 5. y así continua con los primos mayores sucesivos hasta que el cociente sea 1. Todos los divisores obtenidos son los factores primos del número dado. 65 Ejemplo: Encontrar todos los factores primos de 780 Solución: 780 +2 390 +2 195 +3 65 + 5 13 + 13 1 Por lo tanto, los factores primos de 780 son: 2,2,3,5, 13 Esto es 780 = 2.2.3.5.13 Nota: Es posible concluir la prueba de divisibilidad de un número dado, cuando se llega a uno primo, tal que al multiplicarse por sí mismo. da como resultado un producto mayor que el número dado. Ejemplo: 1) 59 es primo y las únicas pruebas que se requieren son las 2,3,5 y 7. El número siguiente que hay que probar es 11 pero 11 x 11 = 121 que es mayor que 59. 2) En el caso de 149 se analizan 2,3,5 7 y 11 y se finaliza, ya que 13x13=169 66 Ejercicios 5 Escriba los números siguientes en términos de factores primos. 1) 12 2) 18 3) 24 4) 28 5) 36 6) 40 7) 44 8) 46 9) 50 1 O) 56 11) 64 12) 70 13) 78 14) 84 15) 96 16) 112 17) 131 18) 144 19) 157 20) 176 5.2 Factorización de Polinomios Cada uno de los números que se multiplican entre si para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular este documento se factorizaran polinomios con coeficientes enteros. 67 Factores: se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicados entre si dan como producto la primera expresión. Así multiplicando a por a+ b tenemos a( a + b) = a2 + ab a y a - b, que multiplicamos entre si dan como producto a: + ab, son factores o divisores de a2 + ab . Del modo propio (x + 2)(x + 3) = x: + 5x + 6. Luego x + 2 y x + 3 son factores de X 2 +5x +6. Factorar un monomio: los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. Así los factores de 15ab son 3, 5, a y b por tanto 3.5ab Factorar un polinomio. No todo polinomio se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, del mismo modo que, en aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, y por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+ b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque solo es divisible por a+ b y por 1. Factores comunes a todos los términos. Ejemplo 1: obtener M.F.C de 4x 3 , 6x 1 , 12x Solución : 4x 3 = 22 x 3 6x2 = 2.3x2 12x = 2= .3x Las bases comunes son 2 y x. 68 El mínimo exponente de 2 es 1 y el de x es 1. Por consiguiente el M.F. C = 2' x' = 2.x Ejemplo 2: obtener M.F.C de 9x3y 2 , 12x4y, -15x5 Solución 9x3y" = 3: x3 y2 12x4y = '): .., 4 - . .JX y -l5x5 = "\ - 5 - .J. )X Bases comunes 3 y x Mínimo exponente de 3 es 1 y de x es 3. Por lo tanto el M.F.C = 3x3 Ejemplo 3: obtener M.F.C de 6a4 (x- y)2, 9a3 (x- y)3 , 12a2(x-y)4 Solución : 6a4 (x- y) 2 = 2.3a4 (x- y) 2 9a3 (x - y)3 = 32 a3(x - y)3 12a2(x-y)4 = 22.3a2(x-y)4 Las bases comunes son 3, a, y (x - y). El mínimo exponente de 3 es 1, el de a es 1 y el de (x-y) es 2. Por tanto el M.F.C = 3a 2(x- y)2 Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común, se emplea la ley distributiva ab1 + ab2 + ab3 + ... + ab" = a(b1 + b2 + b3 + ... + bn). Para factorar un polinomio. Uno de los factores es el M.F.C de todos los términos del polinomio. El otro es el cociente, que se obtiene dividiendo cada término del polinomio por el factor común; esto es 69 b b b ab 1 ab, ab, ab a 1 +a : +a 3 + ... +abn =a(---+--+-� + ... +-n) a a a a Ejemplo 4: factorizar el polinomio 3a= - a Solución : Máximo factor común es a 3a2 -a = 3a2 a a(---) a a = a(3a-l) R/ Ejemplo 5: factorizar 8x3 -4x2 + 12x Solución : Máximo factor común es 4x = 4x(2x= -x + 3) R/ Ejemplo 6: factorizar 4x:(2x-l)-8x(2x-lf Solución : Máximo factor común es 4x(2x -1) 4x\2x-I)-8x(2x-1/ = 4x(2x-1)[4x = (2x- l) - Sx(2x-lf l 4x(2x -1) �x(2x -1) J = 4x(2x - l)[x -2(2x-1)] ' , 8 3 , 8xº -4x- +12x = 4x(_!__- 4x- + 12x 4x 4x 4x) = 4x(2x-l)[x-4x+2] = 4x(2x - 1)(2 - 3x) R/ Ejercicios 5 1) Aplicando la teoría de expuesta y tomando como base los ejemplos. encuentre el factor común; a ios ejercicios siguientes: a) b) c) d) e) f) x3 x x2 , ' 6x2 9x3 12x ' ' l 5x3 ,25x� ,30x2 l 2x2 y,l 8x2 y,6x2 6(x + 2),9(x + 2) x(x + 2)\x2 (x + 2) 2) Factorice los siguientes polinomios. a) 4x+4 b) 3x+9 c) 12x+6 d) lOx-5 e) 18x-27 f) 4x: +4x g) 5(x-4)-10(x-4f h) 6(2x + l)" - 2(2x + 1) 71 5.3 Factorización de un binomio. Los métodos de factorización de polinomios se presentaran según el número de términos dei poiinomio que hay que factorizar. Un monomio es una forma fac+n.-·17-:3,-la así 1"1110 ol nr-imor- tinn rlo nnlinnmin 1"11 10 eo r-nneirlor--:3 oe ol b"1nnmio 1 \.VI L...._.,.,_,. , 1 '"'t'-4'-' \,JI t'-'' 111 IVI \.lt"V '-AV t,-'VIII IVI I IIV "'1'-4'-' ._,'-' '-''-'1 l._,1""'-'' c...4 \JtJ VI I IV 1 1 0 Cuadrados y raíces cuadradas. Los cuadrados de los números 3, 52 , 2/3, a, x2 , y, b3 son respectivamente 32 , 54 , 22/32 , a2, x4, y2 , b6. Los númems 3, 52 , 2/3, a, x2 , y, b3 se llaman rníces cuadradas de 32 , 54 , 22/32 , a2 , x4 , y2 , b6 , respectivamente. La raíz cuadrada de un número a se denota por "' a . El símbolo se denomina radical, el 2 que se incluye en el índice y el número a se llama radicando. Cuando no se escribe ningún índice se supone que es 2. Aunque los cuadrados de (+3) y (-3) son iguales a 9, cuando se hable de !a raíz cuadrada de 9, nos referimos al número positivo 3 y no a (-3). Definición: se dice que un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número racionai. La raíz cuadrada de un número especifico puede encontrarse descomponiendo el número en sus factores primos, con sus respectivos, y luego dividir entre 2 a cada exponente de su potencia original ( cuando se eleva un número al cuadrado multiplicamos su exponente por 2). Ejemplos: 1) -6➔=·.26 =23 =8 2) -.1+1- = ·. 24 .3 2 = 2 2.3 1 = 12 72 16 !')-+- 22 4 3) .-= = = 25 1 5: 5 5 Definición: si a es un número literal Y íl E N, se define -,Ja2" como (-,a)2" =a". Si el exponente no es divisible por 2, el número no es cuadrado perfecto. Ejemplos: 1) ·, a-1- = a 2 2) , 2 6 3 -_xy =xy 3) · 2 4 / 2 2 -1- 2 'J4X y = '\ 2 X y = 2xy Diferencia de cuadrados. El producto de los factores (a+ b) y (a -b) es a2 -b2 , es decir, la diferencia de dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de cuadrados son ia suma y diferencia de las raí ces cuadradas respectivas de dichos cuadrados. Ejemplo : Factorizar 9a2 -4 Solución : Las raíz cuadrada de 9a2 es 3a y la de 4 es 2 por consiguiente 9a2 - • = (3a + 2)(3a - 2) . Nota : Recuerde factorizar el polinomio completamente. Ejemplo : Factorizar completamente x .. - 8 ly .. 73 Solución: x4 -81y4 = (x2 +9y 2 )(x2 -9y2 ) = (x2 + 9y 2 )(x -..- 3y)(x -3y) Nota : Antes de verificar si el binomio es una diferencia de cuadrados, véase si hay aigún factor. Este es ei primer paso a efectuar. Ejemplo: Factorizar completamente 6x4 -6 Solución : 6x4 - 6 = 6(x4 -1) = 6(x2 + l)(x2 -1) = 6(x 2 + l)(x + l)(x-1) Nota: (a+b)(a-b) = (a-b)(a+b). Ejemplo 1: Factorizar completamente x2 - 4(y-3)2 Solución : x2 -4(y-3)2 = [x + 2(y-3)][x-2(y-3)] = (x+ 2y-6)(x-2y + 6) Ejemplo 2: Factorizar completamente (x-1)3 + y2(1-x) Solución : (x-1)3 + y2 (1-x) = (x-1)3 - y 2 (x-1) = (x-I)l(x-1)2 -y2 j (x-l)(x-1+ y)(x-1-y) Ejemplo 3: Factorizar completamente x2 -� 16 Solución: La raíz cuadrada de es 16 4 74 9 3 , 9 3 3 x- - - = (x + --)(x - -) 16 4 .~ Ejercicios 5 Factorice completamente los siguientes polinomios. 1) X 2 -1 2) x 2 -16 3) X 2 +25 A\ 4-x2 '-+) i::: \ 9x 2 -1 v/ 6) 16x2 -9 7) 9x2 - 25y2 8) 6x2 + 24 9) 12x2y 2 - 75a2 1 O) 3x-i - 48y4 11)(x+3)2-4y2 2 , 1 1 ) x- - - 9 3 , 4 1 ) x- - - 25 A A\ ,-.. , 16 1'-+J-+~r -- 25 15)x-i-~ 81 75 5.4 Factorización de un trinomio. La Factorización de los trinomios se divide en dos casos 1. El trinomio es de la forma x2 + bx+ c,b,c E Z;b :t:- O.e:::: o. 2. El trinomio tiene la forma ax2 + bx + c,a :t:-1,a,b,c E Z:b = O.e :;t: o. Trinomios de la forma x: -bx+c,b,c E Z;b :;t: O,c :;t: O Consideremos los productos siguientes: (x-m)(x+n) = x 2 +(m+n)x+mn (x-m)(x-n) = x2 +(-m-n)x+mn (x-m)(x-n) = x2 +(m-n)x-mn (x-m)(x+n) = x2 +(-m+n)x-mn Se observan las siguientes relaciones entre los productos y sus factores: 1) El primer término de cada factor es la raíz cuadrada del término que aparece ai cuadrado en ei trinomio. ')\ ¡::'( nrf"\dl '"to d0 los s0 nunrlos t6rm"1nos d0 1os f~r-tf"\r-os ºS ol t,ArCAr L../ L-1 ,...., V ._,.VI. .._, '-'~ 1 IU '-' 1 1 '-' 1 IUVI.VI '-' '-' ._, - - término del trinomio. 3) La suma de los segundos términos, con sus respectivos signos, es el coeficiente dei término central dei trinomio. 76 Notas: Para encontrar los segundos términos de los factores, se buscan dos números cuyos productos sea el tercer término del trinomio y cuya suma sea el coeficiente del término central del trinomio. Cuando el signo del tercer término del trinomio es positivo los dos números tienen signos iguales al signo del término central del trinomio. Cuando el signo del tercer término del trinomio es negativo, los dos números tienen signos opuestos y el de mayor valor absoluto tiene el signo del término central del trinomio. Ejemplo 1: Factorizar x 2 + Sx + 15 Solución : El primer término de cada factor es N = x Por consiguiente x2 +8x+l5 = (x )(x ) Como el signo del último término(+ 15) es positivo, los números que faltan en los factores deben tener el mismo signo dado que ei signo del término central { + 8x ) es positivo, los dos números fa!tantes también deben ser!o. x 2 +8x+l5 = (x+ )(x+ ) Buscamos dos números naturales cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 8, los números son 3 y 5. Por tanto x2 +8x + 15 = (x +3)(x+ 5) Ejemplo 2: Factorizar x 2 -1 Ox + 24 Solución: El primer término de cada factor es •ix2 = x Por consiguiente x 2 - lOx + 24 = (x )(x ) Puesto que el signo del tercer término ( + 24) es positivo, los números faltantes en ios faciores deben tener signos iguales. Como el signo dei término central (- 1 Ox) es negativo !os números que faltan deben ser negativos. x 2 -10x+24=(x- )(x- ) Buscamos dos números cuyo producto sea 24 y cuya suma sea 1 O, los números son 4 y 6. Por tanto x 2 - lOx + 24-= (x-4)(x-6) Ejemplo 3: Factorizar x2 - 5x- 36 Solución : x2 - 5x - 36 = (x ) (x ) Como el signo del último término es negativo, los números faltantes en los factores tienen signos opuestos. x 2 -Sx-36 = (x+ )(x- \ I Dado que el signo del término central es negativo, el número de valor absoluto mayor debe tener signo negativo. x 2 - 5x - 36 = (x + número menor ) (x - número mayor ) Buscamos dos números naturales cuyo producto sea 36 y cuya diferencia sea 5. Los números son 4 y 9. Entonces x 2 - 5x-36:::. (x + 4)(x- 9) Ejemplo 4: Factorizar x 2 + 3x- 28. 78 Solución : x 2 + 3x- 28 = (x ) (x ). Como el signo del último término es negativo, los números faltantes en los factores tienen signos opuestos. x 2 +3x-28=(x+ )(x- Como el signo del término central es positivo, el número mayor de valor absoluto debe tener signo positivo. x 2 + 3x - 28 = (x + número mayor ) (x - número menor ) Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y cuya suma sea 3. Los números son 4 y 7. Por consiguiente x 2 + 3x - 28 = (x + 7)(x - 4). Notas: - Cuando el término del trinomio es un número grande y sus factores no son inmediatos, se escribe el número como producto de sus factores primos luego se analizan productos de factores formados con combinaciones de los primos. - No todo polinomio es factorizable en el conjunto de los enteros; por ejempio: a) x 2 +2x+2 ""9 Ejercicios 5 Haciendo uso de toda la teoría expuesta en este contenido. factorización de trinomios de la forma x 2 + bx + e . Factmice completamente los siguientes tíinomios. 1) X 2 + 3x+ 2 2) x 2 +4x+4 3) x 2 + l lx + 30 4) x 2 -5x+6 5) x 2 -12x+3 6) x 2 -80+2x 7) x 2 -36 - l6x 8) x 2 + 14xy + 48y 2 9) x 2 +9xy-36y2 1O)x2 -2xy-63y2 11)5x2 +5x-10 12)ax2 +5ax+6a 13)x3 -12x2 +20x 14) x • + 2x3 - 8x2 15)3x3 -3x2 -18x 80 5.5 Trinomios de la forma ax= + bx+ e a i=- 1,a�b,c E Z,b i=- O,c i=- O Consideré el producto (2x+ 4)(x+ 3) = 2x� + lOx+ 12 El primer factor de la izquierda contiene el factor común 2 2x2 +4=2(x+2) También el producto desarrollado contiene el factor común 2 2x + lOx+ 12 = 2(x: + 5x+ 6) En generai, si un factor de un producto contiene un factor común entonces ei producto, entonces el producto desarrollado también contendrá. Por otro lado, si ningún factor de un producto, por ejemplo (x + 5)(3x - 2), contiene un factor común, entonces el producto desarrollado, en este caso 3x: + 13x- 1 O, no tendrá factor común. Recíprocamente, si los términos de un producto no poseen un factor común, entonces tampoco lo tendrán ninguno de sus factores. Para aprender a factorizar un trinomio de la forma ax 2 + bx + e , veamos primeramente como se multiplican dos factores para obtener un producto de esta forma. Se multiplica (2x + 3)( 4x - 5) 2x+3 ,t - '+X-) 8x:+12x - l0x-15 8 V': ...1.....,"' -15 .,1, 1 .L..-\. Examinaremos nuevamente esta multiplicación, como se muestra en la siguiente figura. 81 2x +3 - 12x roR j \POR/ j MR Q..,.c 1 12"" YPOR O.\, T .A -lüx-15 /\ RY 2 -l-/Y-1~ I \ '"'"'" 1 ,,,__,,.,,,., ....__ 4x -5 lOx 11 11 8x 2 1 ~ -L) Las flechas cruzadas se denominan tijeras. 2x '\. JI A la izquierda de las tijeras X son factores de 8x2 , que es el primer termino del trinomio. -ix / )t A la derecha de las tijeras y +J son factores de -15 , que es el tercer termino del trinomio. / ".:lit -s La suma de los productos en dirección de las flechas. ''X_, --10, -!Ox -12x +2x 2x es el termino central del trinomio. Nota : Cuando el trinomio tiene un factor común, este se determina antes de intentar factorizar con ei método de ias tijeras. 82 Cuando el coeficiente del primero o tercer termino del trinomio, es numero grande, se escribe ei número como ei producto de sus factores primos, y se analizan productos de factores formados con combinaciones de !os primos. Ejemplo 1: Factorizar el trinomio 6x·"' T l 9x + 15 Solución: 2x , - +3 3x.X +5 +9x-é-l0x=l9x Gx2 + 19.x + 15 = (2.x + 3)(3x + 5) Ejemplo 2: Factorizar el trinomio I2x 2 -45x + 42 Solución: Factor común de 12x2 -45x+42 es 3 entonces 12x2 -45x+42 = 3(4x2 -15x+14) -lxx-7 X -2 -7x-8x = l5x Por consiguiente l2x 2 -45x+42=(4x-7)(x-2) Ejemplo 3: Factorizar el trinomio I2x 2 - x-20 83 Solución: -'-15x-16x = -x Por tanto 12x2 - x- 20 = ( 4x + 5)(3x- 4) Ejemplo 4: Factorizar 36-37x-48x2 Solución: 4 y 3x +27x-64x=-37x 9 / ~ -16x Por consiguiente 36-37x-48x2 = (4 + 3x)(9- I6x) Ejemplo 5: Factorizar 36x .. - 24 lx2 + 100 Solución: -16x2 - 225x~ = -24Ix2 Por tanto 36x .. - 24 lx 2 + l 00 = (-l-x 2 - 25)(9x2 - 4) = ( 2x + 5)(2x - 5)(3x + 2)(3x - 2) 84 Ejemplo 6: Factorizar 2(x- y)2 - 5(x- y)- 12 Solución : 2(x - y)2 - 5(x- y)-12 es de la forma 2a2 -5a -12 cuyos factores son (2a + 3)(a + 4) Por lo tanto 2(x- y)2-5(x- y)-12 = [2(x-y)+3][(x-y)-4] = (2x-2y+3)(x- y-4) Nota : No todo trinomio es factorízable en el conjunto de los números enteros; por ejemplo: 1) 3x2 -4x-6 2) 4x2 -8x-3 3) 6x 2 +5x+ 2 85 Ejercicios 5.5 Factorice completamente los siguientes trinomios. 1) 2x= + 3x + 1 2) 3x= + 13x+ 15 3) 3x= -4x+l 4) -l-x2 -9x+2 5) 2:,.-= - lJx- 7 6) 2x.i. + 7x 2 + 3 7\ 18x• - 29x2 + 3 I I 8) 8l.\"'• -18x2 +1 I 9) 16x.i. -72x2 +81 10)3(x+ y)2 +lO(x+ y)+3 11 ) 4(x- y)2 + 9(x- y)+ 2 12) 6(2x- y)2-25(2x- y)+4 13) 2(x + y)" - 3(x +y)+ 1 14)36(x- y)2 +5(x- y)-24 15) 12(x-3y)2 -5(x-3y)-3 86 6. Relaciones y Funciones. Frecuentemente nos encontramos en la vida diaria con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada libro de corresponde un cierto número de paginas. A cada persona le corresponde una fecha de cumpleaños. Si se mide la temperatura ambiental durante un día, entonces, a cada instante le corresponde una temperatura. En los ejemplos de correspondencia que hemos citado, hay dos conjuntos: D y E. En el primero de los ejemplos, D denota el conjunto de libros, y E el conjunto de enteros positivos. A cada libro X en D le corresponde un entero positivo "Y" en E, que es el número de paginas. La correspondencia se representa mediante diagramas. D E En donde los conjuntos D y E se representan por medio de puntos dentro de las regiones de un plano. La flecha indica que el elemento de X de D le corresponde el elemento "Y" de E, se ha considerado diferentes a los conjuntos X y Y. Sin embargo. los dos conjuntos pueden tener elementos en común, y más aún es factible que D = E. Los ejemplos mencionados indican que a cada X en D le corresponde una y solo una Y en E; es decir para una X dada, Y es única. Sin embargo, diferentes elementos de D pueden estar asociados en un mismo elemento de E. Por ejemplo, dos libros pueden tener el mismo número de paginas o dos personas, idéntica fecha de cumpleaños. 87 En este caso D y E serán conjuntos numéricos en la mayoría de los casos. Como ejemplo, supongamos que D y E son el conjunto de los números reales R y que a cada número real X le corresponde su cuadrado X2 , es decir, al 3, -5 y ✓2 se le asocian los números 9, 25 y 2, respectivamente. Esto determina una correspondencia de R a R. Cada uno de los ejemplos de correspondencia que hemos visto es una función la cual se define de la siguiente manera. Definición: una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento X de D un único elemento ~y" de E. Relaciones y Funciones. 221-0796, es el número telefónico de Rubén. Carlos es amigo de Juan. Pedro es hermano de Silvia 5 es mayor que 3. San Salvador es más grande que Santa Tecla. 4 es el inverso multiplicativo de ¼. Es el numero de teléfono de Es amigo de Es hermano de Es mayor que Es más grande que Es el inverso multiplicativo de Tales frases se llaman Relaciones. Son palabras que vinculan a una cantidad con otra. A veces se aplican entre elementos del mismo conjunto (4, 1/4 E R ); y a veces no. 88 Generalmente usamos la letra mayúscula "R" para representar una relación. 6.1 Diagramas Las relaciones pueden representarse por una variedad de diagramas. Relaciones entre elementos del mismo conjunto pueden representarse por el diagrama de flechas que se da a continuación. A. Diagrama de flechas #1. Ejemplo 1. representar la relación "es mayor que" entre los elementos. {1,2,3,4}. El símbolo ~ =" es mayor que" Cuando la relación no es entre elementos del mismo conjunto se usa otra forma de diagramas de flechas que se da a continuación. B. Diagrama de flechas #2. Ejemplo 2. La relación " vive en la ciudad " se aplica entre los elementos de los conjuntos. Alma, Juan, Carlos, Paz, Margarita y San Miguel, Santa Tecla, Sonsonate. Así: 89 Santa Tecla Juan San Miguel Paz Sonsonate Alma y Juan viven en Santa Tecla. Carlos vive en San Miguel, Paz y Margarita viven en Sonsonate. Este diagrama también puede usarse para relaciones entre elementos del mismo conjunto. En el ejemplo #1 tenemos: A B El diagrama nos muestra que en la relación participan los elementos 2, 3,4 del conjunto A y 1, 2, 3 del conjunto B. Damos nombres a los conjuntos así: El conjunto A se llama Alcance o conjunto de partida A = { 1, 2, 3, 4 } El subconjunto del alcance que contiene los elementos de los cuales parten las flechas se llama Dominio. En este caso { 2, 3, 4} B se llama el conjunto de llegada. B = { 1. 2, 3, 4 } 90 El subconjunto de conjunto de llegada formado por los elementos a los cuales llegan las flechas, se llaman el conjunto de imágenes. En este caso { 1, 2, 3} y se representa así: Alcance o Conjunto de Partida. La relación. Conjunto de Llegada. C. Diagrama Cartesiano. En este tipo de diagramas tomamos 2 ejes que por lo general, se cortan en ángulo de 90º. En el eje horizontal colocamos los elementos del ALCANCE y en el eje vertical, los elementos del conjunto de llegada. Ejemplo 3. Dibujar el diagrama cartesiano que representa la relación " es múltiplo de " entre los elementos de { 1, 2, 3, 4 } 1 ltl ~ 51 ~4---~--~------~-- :::¡ ¡ : 1 Q) 3 ---------t---------- "C ! 1 : 1 .s 2 -------·------t- ___ · __ --+---- e: 1 i 1 1 ¡ .=, 1 ------+--- -•-----•~---•----- e: oa~--~--~---~------ 0 o 1 2 3 4 5 Alcance 91 6.2 GRÁFO DE UNA RELACION. El diagrama del ejemplo 3 muestra la relación II es múltiplo de ". Vemos que 1 es múltiple de 1. etc. Si representamos las palabras II es múltiplo de" por la letra R. entonces podemos escribir 1 R 1. Si aplicamos este tipo de vinculo a todos los elementos del diagrama, obtenemos : 1 R 1, 2 R 1, 2 R 2, 3 R 1, 3 R 3, 4 R 1, 4 R 2, 4 R 4. En cada caso, el resultado produce un par ordenado por ejemplo: 3 R 1 produce el par ordenado ( 3, 1 ); entonces todos los resultados pueden representarse por pares ordenados que vienen a integrar el conjunto: {( 1, 1 ), ( 2, 1 ), ( 2,2 ), ( 3, 1 ), ( 3,3 ), ( 4, 1 ), ( 4,2 ), ( 4,4 )} que se llama el gráfo de la relación R. La notación que ocupamos para el gráfo es GR = {( 1, 1 ), ( 2, 1 ), ( 2,2 ), ( 3, 1 ), ( 3,3 ), ( 4, 1 ), ( 4,2 ), ( 4,4 )} Ejemplo 4 Encontrar el gráfo de la (R) 11 es mayor que "entre los elementos {1, 2, 3, 4} GR= {( 2, 1 ), ( 3,2 ), ( 3, 1 ), ( 4,3 ), ( 4,2 ), ( 4, 1 )} Ejercicios 6 Empleando definiciones y siguiendo pasos de los ejemplos anteriores desarrolle los siguientes ejercicios. 1) Escriba el dominio y rango de cada relación R cuyos gráfos son (i) GR = {( 1,2 ), ( 3,4 ), ( 3,5 ), ( 4,4)} (ii) GR= {( 1/4,4 ), ( 1/3,3 ), ( 1/2,2 ), ( 1, 1 )} 92 2) Para cada gráfo de la primera pregunta dibuje los diagramas siguientes (i) Diagrama de flechas #1 (ii) Diagrama de flechas #2 (iii) El diagrama cartesiano 3) Juan y Roberto son hijos del Sr. Sandoval; Sr. Villacorta es padre de Alberto. (i) Dibuje el diagrama de flechas #1, para la relación II es hijo de" (ii) Obtenga el gráfo de la relación. 4) A= {4, 3, -1/4, -1/3} B = {-4, -3, 1/4, 1/3} a)R , es la relación II es el inverso multiplicativo de " (i) Encuentre GR. (ii) Dibuje el diagrama de flechas #2. b )R2 , es la relación II es el inverso aditivo de 11 (i) Encuentre GR 2. (ii) Dibuje el diagrama de flechas #2. 5) R es la relación " es el doble de " entre los elementos de {2, 4, 6, 8, 1 O, 12 } (i) Encuentre GR. (ii) Dibuje el diagrama de cartesiano R. 6) X E dominio de la relación R Y E conjunto de imágenes R es la relación " es menor que 11 ( < ) [ entonces sabemos que X < Y ] R : A __,. A donde A = { O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 93 (i) Dibuje el diagrama Cartesiano. (ii) ¿Cuál es el dominio? (iii) ¿Cuál el conjunto de imágenes? 7) Una relación R es tal que. GR = { ( x, y ); y = 2x } La relación R se da entre los elementos de { O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a)Encuentre (i) GR. (ii) El diagrama cartesiano. b)Escriba en palabras la relación R. 7. Relaciones de Coordenadas en dos Dimensiones. Se pueden aplicar sistemas coordenados a un plano mediante pares ordenados. El término de par ordenado se refiere a dos números reales, uno se designa "primer'' número y el otro "segundo" número. El símbolo (a, b) se emplea para denotar el par ordenado que consta de dos números reales a y b, en donde a es el primer número y b es el segundo número. Los pares ordenados tienen muchos usos. En este caso representaran puntos en un plano. Aunque los pares ordenados se emplean en situaciones diferentes, es difícil confundirse, puesto que en general el contexto indica claramente si el símbolo ( a, b) representa un intervalo, en un punto, u otro término matemático. Consideramos que dos pares ordenados ( a, b) y ( c, d) son iguales cuando. ( a, b) = ( c, d) si y solo si a= e y b = d esto, implica que ( a, b) -:;1:. (b, a) si ª * b. 94 Para formar un sistema coordenado rectangular, o cartesiano. se consideran dos rectas coordenadas perpendiculares entre si, que se cortan en el origen O (cero) de ambos. Se elige la misma unidad de longitud en cada recta, a menos que se especifique lo contrario. Usualmente una de las rectas es horizontal con dirección positiva hacia la derecha y la otra recta es vertical con dirección positiva hacia arriba. Las dos rectas se llaman ejes coordenados y el punto O( cero) es considerado como el origen. Más específicamente, a la recta horizontal la consideraremos como el eje X, y a la recta vertical como el eje "Y", y las designamos por X y Y, respectivamente. El obtenido se llama Plano Coordenado. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro partes llamadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes que se designan por 1, 11, 111, IV, respectivamente. A cada punto P de un plano XY se le designa un único par ordenado (a, b) los números a y b se llaman abscisa ( o coordenada X ) y ordenada ( o coordenada y) de P, respectivamente. A veces decimos que P tiene coordenadas (a, b). Recíprocamente, cada par ordenado (a, b) determinan un punto P con coordenadas a y b en el plano XY. A menudo, cuando nos referimos al punto (a, b) o P(a, b), queremos decir el punto P cuya coordenadas "X" es a y cuya coordenada "y" es b. Ubicar un punto P(a, b) significa localizar a P en un plano coordenado y representado mediante un punto. División del plano en cuatro partes llamadas primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante. 95 y ... i ) 1 1 ! • -¡ 1 1 II 3-+- I 1-t--1 • 1 1 1 _: t 1 1 1 • -5 -• -3 -2 2 3 4 5 X III -2 t IV 1 ~f A cada punto P de un plano XY se le asigna un único par ordenado (a, b). y ii ) b ··•····· ............................................ I! (a. b) 3 2 -5 -4- -3 -2 1 2 ., ''· 5 -1 a -2 X -3 -4 96 Ilustración de algunos puntos formados por ( a, b ). y ¡¡¡ ) (O, 4) (-4, 3) 4 • 3 (5, 2) 2 • (-4, O) l (O, O) ,., -5 --1- -.) -2 -1 l 2 3 -1- 5 -1 -2 (5, -3) • (O, -3) • -3 (-5, -3) -4 Ejemplo: representar los puntos A(-1, -3), 8(6, 1) y C(2, -5). A(-1, -3) 3 2 -6 y 8(6, 1) 7 8 9 C(2, -5) 97 X X Ejercicios 2. 7 Aplicando los conocimientos adquiridos de este contenido efectué los siguientes ejercicios. 1) Represente los siguientes puntos en un sistema coordenado rectangular: A(5, -2), 8(-5, -2), C(5, 2), 0(-5, 2), E(3, O), F(0, 3). 2) Represente los puntos A(-3, 1 ), 8(3, 1 ), C(-2, -3), 0(0, 3) y E(2, -3) en un sistema coordenado rectangular y trace los segmentos de recta AB, BC, CD, DE Y EA 3) Represente los puntos A(0, O), 8(1, 1 ), C(3, 3), 0(-1, -1) y E(-2, -2). Describa el conjunto de todos los puntos de la forma (X, X) donde X es un número real. 4) Represente los puntos A(0, O), 8(1, -1), C(2, -2), 0(-1, -1) y E(-3, 3). Describa el conjunto de todos los puntos de la forma ( a, -a) donde a es un número real. 5) Describa en un plano cartesiano el conjunto de todos los puntos P(X, Y) tales que: a) X= 3 C) X 2 0 e) y< O b) y= -1 d) xy > O 6) Describa en un plano cartesiano el conjunto de todos los puntos P(X, Y) tales que: a) y= O e) xfy < O e) y >1 b) x = -5 d) xy = O 98 8. Gráficos. Si A es un conjunto de pares ordenados, se puede considerar al punto P(X, Y) de un plano coordenado que corresponda al par ordenado (X, y) en A La gr~fica de A es el conjunto de todos esos puntos. La frase " trazar la gráfica de A " significa ilustrar geométricamente en un plano coordenado las características relevantes de la gráfica. Ejemplo 1. Trazar la gráfica de A = { (X, Y): 1 X 1 52, 1 Y 1 ~1 } Solución: La notación que describe a A se traduce por " el conjunto de todos los pares ordenados (X, Y) tales que I X 1 52 y I Y 1 ~1. " Estas desigualdades son equivalentes a -2~ X 52 y -1 ~ Y ~1. Por lo tanto la gráfica de A consiste en todos los puntos comprendidos dentro y sobre la frontera de la región rectangular que se muestra en la siguiente gráfica. 4 3 2 99 (X, y): 1X152, 1 Y 1 ~1 3 4 Ejemplo 2. En este ejemplo se trata de trazar la gráfica de B = { (X, Y): Y = 2X-1} Solución: Empezamos por encontrar algunos puntos con coordenadas (X, Y) este en B. Conviene tabular estas coordenadas como se muestra a continuación, de manera que el valor de Y correspondiente al número real X sea igual a 2X-1. -1 O 1 2 3 -3 -1 1 3 5 Después de marcar los puntos con estas coordenadas, nos damos cuenta que todos están sobre una recta y trazamos la gráfica de acuerdo con esta observación. En general los pocos puntos que representamos no serian suficientes para esbozar la gráfica; sin embargo, en este caso sencillo podemos estar seguros de que la gráfica es una recta. >- -5 -4 -3 -2 -1 (1,-3) (-2,-5) y= 2x -1 5 4 3 2 1 100 (1, 1) 2 (3,5) (2,3) 3 4 Las coordenadas X de los puntos en los que la gráfica corta el eje X se conoce como intercepciones X de la gráfica. Las coordenadas Y de los puntos en los que la gráfica corta el eje Y se conocen como intercepciones Y en la gráfica anterior tiene como intercepción X, ½ y como intercepción Y, -1. Es imposible trazar la gráfica completa del ejemplo anterior ya que X puede tomar valores tan grandes como se desee. En general la gráfica debe ilustrar una parte suficientemente grande de manera que las partes restantes sean evidentes. Para algunas ecuaciones la técnica que se empleará para obtener la gráfica consistirá en representar tantos puntos como sea necesario hasta tener la idea clara de la forma de la curva. Es claro que esta no es la manera más adecuada de obtener la gráfica; sin embargo, este método se usa con frecuencia. Para dar una descripción aproximada de las gráficas de ecuaciones complicadas, generalmente es necesario emplear técnicas más avanzadas, que se estudian en los cursos de cálculo. Ejemplo 3. Trazar la gráfica de la ecuación Y= X2. Solución: Para trazar la gráfica debemos situar más puntos que el ejemplo anterior. Aumentando las coordenadas X sucesivas en ½, se obtiene la siguiente tabla. X -3 -5/2 -2 -3/2 -1 -1/2 O 1/2 1 3/2 2 5/2 3 Y 9 25/4 4 9/4 1 1/4 O 1/4 1 9/4 4 25/4 9 101 9 ( 3, 9) 8 7 6 5 ( -2, 4) 4 ( 2, 4) ( -1, 1) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 y2 = Al crecer los valores de X, crecen aún más los valores de Y. Por ejemplo, los puntos (4, 16), (5, 25) y (6, 36) pertenecen a la gráfica, así como también los (-4, 16), (-5, 25) y (-6, 36). Al representar y unir mediante una curva aislada estos puntos obtenemos la figura anterior en donde marcamos varios puntos. En la gráfica anterior recibe el nombre de Parábola. El eje Y se llama eje de la parábola, el punto inferior (O, O) es conocido como vértice de la parábola y decimos que la parábola se abre hacia arriba. Si la gráfica estuviese invertida, como sería el caso de Y = O - x?, entonces la parábola abriría hacia abajo y el vértice (0,0) sería el punto más alto de la gráfica. En general, la gráfica de cualquier ecuación de la forma Y = aY..2, para a :# O, es una parábola con vértice (O, O). Las parábolas pueden abrir hacia la derecha o hacia la izquierda. Si el plano coordenado se dobla a lo largo del eje "Y", entonces la mitad de la gráfica del lado izquierdo coincide con la mitad de la derecha. Decimos que la gráfica es simétrica con respecto al eje Y. 102 ( i ) e y ( iii) orieen _______ ,------- ( -X, -Y) __ ... ·· -­ ¿,•······ --- ;" y ( ii ) ( X, Y) (X,-Y y (X, Y) _,.,,.--------­ _ .... ---· X eje X X La gráfica (i) es simétrica con respecto al eje Y, ya que el punto (-X, Y) pertenece a la gráfica siempre que (X, Y) esté en la curva. De manera analógica, una gráfica es simétrica con respecto al eje X si, siempre que el punto (X, Y) está en la gráfica, entonces el punto (X, -Y) pertenece también a la curva, como se muestra en la figura (ii). 103 Otro tipo de simetría que ciertas gráficas poseen es la llamada simetría con respecto al origen, en este caso, siempre que un punto (X, Y) este en la curva entonces el punto (-X, -Y) también esta en la gráfica como se ilustra en (iii). La investigación de estos tres tipos de simetría se lleva a cabo mediante las siguientes pruebas para gráficas de ecuaciones X y Y. 8.1 Pruebas de Simetría. i) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje y si la sustitución de X por -X da una ecuación equivalente. ii) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al eje X si la sustitución de Y por -Y da una ecuación equivalente. iii) La gráfica de una ecuación es simétrica con respecto al origen si la sustitución de X por -X y de Y por -Y da una ecuación equivalente. Si existe simetría con respecto a uno de los ejes, basta determinar la gráfica en una mitad del plano coordenado, ya que el resto de la curva puede trazarse como una reflexión en espejo de la primera mitad. Ejemplo 4. Trazar la gráfica de la ecuación Y2 = X. Solución: La gráfica es simétrica con respecto al eje X ya que la ecuación no cambia al sustituir Y por -Y. Esto se muestra en la prueba de simetría (ii). Por consiguiente, es suficiente representar puntos con ordenadas no negativas y luego reflejarla con respecto al eje X. Las ordenadas de los puntos que están por encima del eje X están dadas por Y = .Jx ya que la ecuación que se tiene es Y2 = X. Las coordenadas de algunos puntos se dan en la siguiente tabla. X o 1 2 3 4 9 y o 1 ✓2~1.4 ✓3~1.7 2 3 104 4 3 2 -1 -2 -3 -4 ( 9, 3) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Trazar la gráfica de la ecuación 4Y = x3 X O 1/2 1 3/2 2 5/2 y o 1/32 1/4 27/32 2 25/32 105 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 o - 1 2 3 4 5 / -1 -2 -3 -4 X 106 UNIDAD 111: Funciones Especiales 1 Funciones Lineales El siguiente tipo de función es de gran importancia en matemáticas y sus aplicaciones. Definición: fes una función lineal si f(x) =ax+ ben donde a y b son números reales yª* O. Se utiliza el término "lineal" porque la gráfica de fes una línea recta, como lo veremos posteriormente. Primero, se presentarán algunos conceptos fundamentales sobre líneas rectas. Todas las rectas a los que nos referimos están en el plano cartesiano. Definición: Sean I una línea recta no paralela al eje "y" y P'1 (X'1,Y'1), P'2 (X'2,Y'2) dos puntos diferentes de l. La pendiente m de I se define por: Si I es posible al eje Y, su pendiente no está definida. Puntos típicos P1 y P2 de una recta 1, se dan en la siguiente figura. El numerador Y2 - Y1 en la fórmula para m, mide el cambio en la dirección vertical al pasar de P1 a P2 y puede ser negativo, positivo o cero. El denominador x2 - x1 mide el cambio horizontal al ir de P1 a P2 el denominador puede ser positivo o negativo pero nunca cero, debido a que I no es paralela al eje Y. Se tiene que. P d. t d 1 _ Desnivel de P1 a P2 en ien e e - Corrimiento de P1 a P2 107 Para obtener la pendiente de una recta, no importa a cuál de los puntos consideramos como P1 y a cuál como P2 ya que y2 - yi _ yi - y2 X2- X, X,- X2 En consecuencia podemos suponer que los puntos están numerados de manera que X1 < X2, como se mostrara en la siguiente figura. En este caso, X2 - X1 > O y por lo tanto la pendiente es positiva, negativa o cero si Y2 > Y1 Y2 < Y1 o bien Y2 = Y1 , respectivamente. La pendiente de la recta que se muestra en (i) es positiva mientras que la de (ii) es negativa. i) y ii) y ···················· ····································º X X Gráfica 1 Gráfica 2 Una recta horizontal es una paralela al eje X. Nótese que una recta es horizontal si y sólo si su pendiente es cero. Una recta vertical es una paralela al eje Y. La pendiente de una recta vertical no esta definida. Es importante notar que la definición de una pendiente no depende de los dos puntos que se eligen sobre 1, ya que si se usan otros puntos P1 (X1,Y1), P2 (X2,Y2) entonces como se ve en la siguiente figura, el triángulo con vértices P1, P2 y P3 (X2,Y1), es semejante al triángulo con vértices P1, P2, y P3 ( x2 , Y1 .) Como los lados de ambos triángulos son proporcionales, concluimos que 108 y1-y, m= = xi-X, x'i-x'i P1 ~-J----.. ··· .. ---• P3 X Gráfica 3 Ejemplo 1. Trazar las rectas que pasan por los puntos siguientes y encontrar sus pendientes. il) a) A(-1,4) y 8(3,2) b) A(2,5) y 8(-2,-1) e) A(4,3) y 8(-2,3) d) A(4,-1) y 8(4,4) Solución: y A(-1,4) b) 109 y 3 A(2,2) X Gráfica 4 Gráfica 5 e) d) y y m = no definida m=O B(-2,3) A(4,3) B(4,4) X A(4,-l) Gráfica 6 Gráfica 7 Por definición de pendiente: a) 2-4 -2 1 m= - -- - -- - 3-(-1) 4 2 b) 5-(-1) 6 3 m= - -- - - - 2-(-2) 4 2 c) 3-3 o o m= - -- - - -2-4 6 d) La pendiente no esta definida puesto que la recta e vertical. Esto se advierte también observando que si se utiliza la fórmula de m, el denominador es cero. Ejemplo 2. Trazar la recta que pasa por P(2, 1) cuya pendiente es a) ~ ; b) 3 110 5 3 X Solución: Si la pendiente de una recta es ~, y b es positiva, entonces para b todo cambio de b unidades en dirección horizontal, la recta sube o baja ¡aj unidades, dependiendo si a es positivo o negativo, respectivamente. Si el punto P(2, 1) está sobre la recta y m = ~, podemos obtener otro punto si se recorre 3 3 unidades a la derecha de P y luego 5 unidades hacia arriba. Con esto obtenemos el punto Q(5,6) y la recta queda determinada. De manera análoga, si m = - ~ , nos trasladamos 3 unidades a la derecha y 5 unidades hacia abajo, lo 3 cual da el punto Q(5,-4). y 5 m=- 3 y 5 m=-- 3 Q(5,6) X Gráfica 8 Gráfica 9 Teorema: i. La gráfica de la ecuación x = a es una recta vertical cuya intercepción x es a. ii. La gráfica de la ecuación y = b es una recta horizontal cuya intercepción y es b. 111 X y Gráfica de la ecuación y = b (O,b) v=b X Gráfica 10 Demostración: Podemos considerar la ecuación x = a, donde a es un número real, como una ecuación en dos variables, x y y, ya que la podemos escribir en la forma x + (O) y = a.(a-2) y (a,3) son algunas soluciones de esta ecuación. Evidentemente, todas las soluciones son pares de la forma (a,y}, donde y toma cualquier valor y a es fijo. De aquí se concluye que x = a es una recta paralela al eje y cuya intersección con el eje x es a, como se ve en la siguiente grafica. y Gráfica de la ecuación x = a (a,0) X x=a Gráfica 11 112 Determinamos ahora la ecuación de la recta I con pendiente m que pasa por el punto P1 (x1,y1) (existe una sola recta que verifique estas dos condiciones). Si P(x, y) es cualquier punto con x * x1, entonces P esta sobre I si y sólo si m es la pendiente dela recta que pasa por P1 y P, es decir, si y sólo si. y-y, ----m X-Xi Podemos escribir esta ecuación y-y1 = m (x- x1) Nótese que (x1,Y1) es también una solución de le ecuación anterior y por lo tanto, los puntos son precisamente aquellos que corresponden a las soluciones. Esta es la ecuación de la recta llamada de forma de punto y pendiente. y P(X,Y) X Gráfica 12 Forma de punto y pendiente de la ecuación de una recta La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por el punto P(x1,Y1) es: y-y1 = m (x - x1). Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1,7) y B(-3,2) 113 Solución: La pendiente m de la recta es 7-2 5 m=----- 1-(-3) 4 Podemos sustituir las coordenadas del punto A o el B en la ecuación de punto y pendiente utilizando A(1,7). 5 Y - 7 = -(x - 1) 4 Es equivalente a 4y - 28 = Sx - 5, o bien Sx - 4y + 23 = O La ecuación de la recta y = mx1 - mx, + Y1 que también puede escribirse y - y, = m(x- x1 ), es de la forma. y= mx + b En donde b = -mx1 + Y1. El número real b es la intercepción y (u ordenada al origen) de la recta, lo cual se puede ver haciendo x = O. La ecuación y= mx + b es la ecuación de la recta I donde se especifica su ordenada al origen y su pendiente. Inversamente, una ecuación de la forma y = mx + b, puede escribirse nuevamente como Y - b = m(x-0) Comparando esta forma de la ecuación de la recta con la forma anterior, vemos que la gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (O,b). Esto conduce al siguiente resultado. 114 Forma de Pendiente e Intercepción de la ecuación de una Recta La gráfica de la ecuación y = mx + b es una recta con pendiente m e intercepción y igual a b. Hemos visto que toda recta es la gráfica de una ecuación de la forma ax+ by+ c = O. En donde a, b, c son números reales, siempre que a y b no sean cero simultáneamente. Una ecuación de esta forma se llama ecuación lineal en x y y. Recíprocamente se demostrará que la gráfica de ax+ by+ c = O, en donde a y b no son ambos ceros, es siempre una recta. Por una parte, si b -:1=- O, podemos despejar y para obtener, y = (- ; )x + (-f) que es la ecuación de una recta con pendiente - ª y ordenada al origen b e b Por otra parte si b = O pero a -:1=- O obtenemos x = _ _:_, que es la ecuación de una a recta vertical cuya intercepción x es _.:.., Esto conduce el siguiente Teorema. a Teorema: La gráfica de la ecuación lineal ax+ by+ e = o es una recta y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. Para simplificar, se empleará el término la recta ax+ by+ e = o en lugar de la expresión más precisa la recta con ecuación ax+ by+ e = o. Ejemplo: Trazar la gráfica de la ecuación 2x - 5y = 8 115 Solución: De acuerdo al teorema, la gráfica es una recta y por consiguiente, basta determinar dos de sus puntos. Determinaremos las intersecciones con los ejes. Haciendo y = O en la ecuación dada, obtenemos que la intercepción x es 4; reemplazamos x por cero obtenemos y = -~, que es la intercepción y. Esto da ) la recta de la siguiente gráfica. y Gráfica 13 Otro método para resolver este ejercicio consiste en expresar la ecuación dada en la forma y = mx + b. Para eso despejamos primero el término que contiene a y. 5y = 2x-8 Después se dividen ambos lados de esta ecuación entre 5 y=¼ x+(-¾) ') que es la forma y = mx + b. Por consiguiente , la pendiente es m = ~ y la 5 ordenada en el origen b = -~. Ahora es posible trazar la recta que pasa por el 5 116 punto (O, - ~) y cuya pendiente es 2 Se puede demostrar en el siguiente 5 5 teorema. Teorema: Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente. Esta propiedad se utiliza en el siguiente ejemplo. Ejemplo 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5, -7) y es paralela a la recta 6x + 3y - 4 = O Solución: Expresamos la ecuación dada en la forma de pendiente e intercepción. Escribimos primero 3y = -6x + 4 y dividimos luego ambos lados entre 3. 4 y= -2x + -.., .) Esta última ecuación indica que la pendiente es -2. Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, la línea requerida también tiene pendiente -2. Mediante la forma de punto y pendiente obtenemos: Y + 7 = -2(x - 5) Que es equivalente a y + 7 = -2x + 1 O o bien 2x + y - 3 = O El teorema siguiente especifica condiciones para rectas perpendiculares entre SÍ. Teorema: Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes m1 m2 = -1 117 Para simplificar, consideremos el caso especial donde las rectas se cortan en el origen O, como se ilustrará en la siguiente gráfica. Las ecuaciones de las rectas son y = m1 x, y = m2 x. Si elegimos dos puntos A(x1, m1x1) y B(x2, m2x2) diferente de O. Como se mostrará, entonces las rectas son perpendiculares, si y solo si el ángulo A o B es recto. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo A o B, se obtiene: [d(A,B)]2 = [d(O,B)] 2 + [d(O,A)] 2 y Y= ffi¡X X Gráfica 14 o sea: (m2x2 - m1x1)2 + (x2 - x1)2 = (m2x2)2 +xi+ (m1x1)2 + x/ Haciendo las operaciones indicadas y simplificando se obtiene: 118 Dividiendo ambos lados entre -2x1x2 vemos que las rectas son perpendiculares si y sólo si m1m 2 + 1 = O, o bien m1m2 = -1. La demostración es semejante cuando las rectas se cortan en cualquier punto (a,b). 119 Una forma conveniente para recordar las condiciones de perpendicularidad es notar que m1 y m2 deben ser recíprocos negativos uno del otro, es decir: -1 -1 m1 = - y m2 = -. m, m, Ejemplo 6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-7) y es perpendicular a la recta 6x + 3y - 4 = O Solución: La pendiente m de la recta es -2 (ver ejemplo 5). Por lo tanto, la pendiente m' de la recta buscada es el recíproco negativo de -2, es decir: m' = - [1 /(-2)] = _!_. Por consiguiente, la ecuación es y + 7 = _!_ (x - 5) 2 2 que equivale a 2y + 14 = x - 5, o bien x - 2y - 19 = O Ejemplo 7: Hallar una ecuación para la perpendicular bisectriz del segmento de recta que va de A(1,7) a 8(-3,2) Solución: Usando la fórmula para el punto medio, el punto medio M del segmento AB es (-1, 2. ). Puesto que la pendiente de AB es 2. (véase el ejemplo 2 4 3), se sigue del teorema anterior que la pendiente de la perpendicular bisectriz es - 4 . Aplicando la forma de punto y pendiente 5 9 4 y - - = - - (x + 1 ). 2 5 Multiplicando ambos lados por 1 O y simplificando se obtiene 8x + 1 Oy - 37 = O 120 Ejercicios 1.1 Aplicando teoremas, definiciones y fórmulas resuelva los siguiente ejercicios. Represente los puntos A y 8 y encuentre la pendiente de la recta que pasa por A